AM-GM da un resultado erróneo al aplicarlo a funciones trigonométricas

Question

Pregunta:

Encuentre el rango de $f(x)=\operatorname{cosec} ^2x+25\sec^2x$

Mi intento: Aplicación de AM-GM: $$f(x) \geq 2\sqrt{\operatorname{cosec}^2x\cdot25\cdot \sec^2x}$$ $$f(x) \geq 10\cdot \left|\operatorname{cosec}x\cdot \sec x\right| = \frac{20}{\left|\sin2x\right|}\geq20$$

Por lo tanto, mi respuesta es $[20, \infty)$

Pero mi libro utilizó la expansión para $\operatorname{cosec}^2x$ y $\sec^2x$ y llegó a $36$ como límite mínimo. Yo también estoy de acuerdo con su método, pero parece que no encuentro ningún problema con mi propio método.

¿Por qué obtengo un resultado diferente? ¿Qué he hecho mal? Se agradecen los consejos.

ACTUALIZACIÓN: Gracias a la explicación en los comentarios, el problema parece ser que tengo un número para el rango, pero no he probado que sea es el número más bajo $f(x)$ puede ser igual. Es totalmente posible $f(x)$ puede ser mayor que $30$ también. Tenemos que demostrarlo también. Ahora, estoy atascado en esta parte, demostrando que $f(x)=20$ es posible o no. Parece que la cuestión es como usar dos valores diferentes de $sin(2x)=1 and 5/13$ en la misma pregunta, la primera como se utilizó anteriormente y la segunda por el hecho de que para que AM-GM realmente tomar el mínimo valor, $\operatorname{cosec} ^2x=25\sec^2x$ . ¿Puede haber más aclaraciones al respecto?

Answer 1

Es obvio que el máximo no existe.

Por C-S obtenemos: $$f(x)=(\sin^2x+\cos^2x)\left(\frac{1}{\sin^2x}+\frac{25}{\cos^2x}\right)\geq(1+5)^2=36.$$ La igualdad se produce para $(\sin{x},\cos{x})||\left(\frac{1}{\sin{x}},\frac{5}{\cos{x}}\right)$ que dice que la igualdad se produce.

Por lo tanto, la respuesta es $[36,+\infty)$ .

Answer 2

Consideremos un problema no trigonométrico más sencillo que tiene el mismo problema que el tuyo.

$$ f(x) = 2x^2 + (x-9)^2, \quad \min_{x\in\mathbb R} f(x) = \mathrm? $$

Debería ser fácil comprobar que se alcanza el mínimo en $x=3$ con $f(x)=54$ . Ahora apliquemos AM-GM:

$$ 2x^2 + (x-9)^2 \ge 2 \sqrt{2x^2(x-9)^2} = 2\sqrt2 \left| x(x-9) \right| \ge 0. $$

¡El mínimo es seguramente más de 0! El problema es que el último "" se convierte en igualdad cuando $x=0,9$ pero la primera "" se convierte en igualdad cuando $2x^2 = (x-9)^2$ : hemos elegido diferentes $x$ en las dos igualdades.

Esto también muestra cómo 20 no es el límite inferior estricto, porque el $x$ donde $\sin 2x=1$ y donde $\csc^2x = 25\sec^2x$ son diferentes.

Bien, ¿y si consideramos $2x^2 = (x-9)^2$ ? Si se resuelve esto, se obtiene $x=9(-1\pm\sqrt2)$ pero luego $f(x) = 972 \pm 648\sqrt2 = 1888.41, 55.5896$ ¡que tampoco son mínimos!

Esto es similar a su caso: Resolviendo $\csc^2x=25\sec^2x$ da $x=\tan^{-1}\frac15$ donde $f(x)=52$ .

El problema aquí es que después de aplicar AM-GM obtenemos otra función, y esa función en realidad no tiene nada que ver con el mínimo:

1. Quieres encontrar un número $f_\min$ tal que $f(x)\ge f_\min$ donde la igualdad es posible.
2. Por AM-GM encontramos $f(x)\ge g(x)$ y la igualdad se produce cuando algunas partes son iguales.

Pero no podemos concluir nada sobre $g(x) \stackrel{?}{} f_\min$ . Así que resolver la igualdad en el AM-GM es inútil.

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Si todavía queremos utilizar AM-GM, tenemos que asegurarnos de que el RHS sale como un número puro*, por ejemplo, en su caso:

\begin{align} \csc^2 x + 25 \sec^2 x &= (\csc^2 x - 1) + 25 (\sec^2 x - 1) + 26 \\ &\ge 2 \sqrt{ (\csc^2 x - 1) \cdot 25 (\sec^2 x - 1) } + 26 \\ &= 10 \sqrt{ (\csc^2 x - 1)(\sec^2 x - 1) } + 26 \\ &= 10 \sqrt{ \left(1 - \frac1{\sin^2 x}\right)\left(1 - \frac1{\cos^2 x}\right) } + 26 \\ &= 10 \sqrt{\frac{\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}} + 26 \\ &= \boxed{36} \end{align}

Después de comprobar $\csc^2x - 1 = 25(\sec^2x - 1)$ tiene solución ( $x=\tan^{-1}\sqrt{\frac15}$ ), podemos estar seguros de que se trata del verdadero mínimo.

(*: o al menos un $g(x)$ donde $g(x) = g_\min$ tiene la misma condición de $x$ como $f(x) = f_\min$ )