Variación total de una medida de Radon

Question

Que $\mu$ ser una compleja medida de radón (sus partes real e imaginaria son medidas de radón firmado) en un % de espacio de Hausdorff localmente compacto $X$. ¿Es su variación total, $|\mu|$, radón?

Definir $|\mu|$ de la manera siguiente, escriba $d\mu=fd\alpha$, $\alpha$ cualquier medida positiva finita #% de %#%, $\sigma$ define $d|\mu|=|f|d\alpha$.

Answer 1

Ok, siguiendo @Martin sugerencia, aquí está el porqué $|\mu|$ es el Radón.

1. Escribir $\mu=(\mu_1 - \mu_2) +i (\mu_3-\mu_4)$ el Uso de Jordania descomposición.

2. Demostrar que existen constantes positivas $c_1,c_2$ tal que

$c_1 (\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4)\leq |\mu|\leq c_2(\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4)$

1. Muestran que cuando se $\mu=\mu_1-\mu_2$ es real, $|\mu|=\mu_1+\mu_2$

2. Demostrar que para un finito positivo de la medida de borel $\mu$, $\mu$ es el Radón iff para cada borelian $E$, $\epsilon >0$ hay $V,K$, $V$ abierto, $K$ compacto, $K\subseteq E\subseteq V$ tal que $\mu(V\setminus K)<\epsilon$.

Esta realidad muestra que $|\mu|$ Radón implica $\mu$ Radón