Cuántos números de seis dígitos puedo crear utilizando los dígitos {$1$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $7$, $9$}

Question

Paso 1 - Determinar cuántos de seis dígitos de los números podemos crear si tuviéramos $8$ distintos dígitos

|{$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$}| = 8

n!/(n-p)!

8!/(8-6)! = $20160$

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PERO tengo {$1$, $4$, $4$, $5$, $5$, $5$, $7$, $9$}

4 repita 2 veces

5 repita 3 veces

Después de este paso, no tengo idea de qué hacer.

Necesito una explicación de lo que implica:

• número de $2$ (número de repetición de 4)
• número de $3$ (número de repetición de 5)

Por favor, tratar de explicar esto mediante la inclusión-exclusión método

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Texto adicional:

Si él tenía 8 diferentes dígitos podemos calcular esto sin un problema. Pero cuando tenemos la repetición de dígitos tenemos que restar algo (y no sé cómo encontrar ese "algo")

Si hubiera {1,2,3,4,5,6,7,8} podemos hacer 20160 números:

• 123456

• 123457

• 123458

• 123465

• 123467

• 123468

...

• 887654

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Pero digamos que hemos tenido {1,2,3,4,5,6,8,8}

Para facilitar la comprensión, voy a distinga estos 8 con una 'a' y 'b'

{1,2,3,4,5,6,8 a,8b}

Siguientes números serían:

• 123456
• 123458a
• 123458b
• 123465
• 123468a
• 123468b

Una vez que se retire de la 'a' y 'b' usted va a obtener números duplicados, lo que causa un problema

• 123456
• 123458
• 123458 (duplicado)
• 123465
• 123468
• 123468 (duplicado)

Tenemos que encontrar cómo muchos duplicados están ahí, y luego restar con número original (20160)

Answer 1

Caso $1$: recogida de seis dígitos de la $3$ distintos dígitos y $(5,5,5)$

$\dfrac{6!}{3!}$

Caso $2$: recogida de seis dígitos de la $3$ distintos dígitos y $(5,5,4)$

$\dfrac{6!}{2!}$

Caso $3$: recogida de seis dígitos de la $3$ distintos dígitos y $(5,4,4)$

$\dfrac{6!}{2!}$

Caso $4$: recogida de seis dígitos de $2$ distintos dígitos y $(5,5,5,4)$

$\dbinom{3}{2}\dfrac{6!}{3!}$

Caso $5$: recogida de seis dígitos de $2$ distintos dígitos y $(5,5,4,4)$

$\dbinom{3}{2}\dfrac{6!}{2!.2!}$

Caso $6$: recogida de seis dígitos de $1$ distintos dígitos y $(5,5,5,4,4)$

$\dbinom{3}{1}\dfrac{6!}{3!.2!}$

Answer 2

Grupo el número de los que son iguales:

{(1),(4,4),(5,5,5),(7),(9)} Ahora, Caso 1: Exactamente 2 cifras son del mismo grupo resto son distintos.(por ejemplo. 445179)

4 y 5 son los únicos números que tienen 2 o más en un grupo.

Por lo tanto,2C1 formas de seleccionar un grupo que contiene 2 o más entidades.( donde C es la función choose, también se escribe con ().)

Después de la selección quedan 4 puntos y 4 grupos de izquierda, por lo tanto 4C4 maneras de elegir el resto distintos números. Ahora bien, estos números pueden ser dispuestos en 6!/2! Maneras como 2 números de repetición. Por lo tanto, en case1, el número de maneras de organizar es 2C1*4C4*(6!/4!).

Caso 2: exactamente 3 de un grupo, el resto distintas.(por ejemplo.555419) 1C1*4C3*(6!/3!)

Caso 3: la repetición de números de dos grupos diferentes exactamente dos veces.(por ejemplo.445517) 2C2*3C2*(6!/(2!*2!))

Caso 4:la repetición de números de dos diferentes grupos primer grupo dos veces y el siguiente grupo de tres veces.(por ejemplo. 555441) 1C1*1C1*3C1*(6!/(3!*2!))

Ahora añadiendo todos los casos, obtenemos el número total de números posibles.