Convergencia de $1+\frac{1}{2}\frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{1}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{1}{7}+\cdots$

Question

¿Es posible comprobar la convergencia de $1+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\dfrac{1}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\dfrac{1}{7}+\cdots$ por la prueba de Gauss?

Si quito el primer término puedo ver $\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)^2} \\=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^2} \\={\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{3}{2n}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{-2}}\\=\left(1+\dfrac{5}{2n}+\dfrac{3}{2n^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{n}\ldots\right)\\=1+\dfrac{3}{2n}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$

Así que la serie es convergente.

¿Es un intento de corrección?

Answer 1

No estoy seguro de su resultado; la prueba de la proporción no es concluyente de todos modos. La forma en que veo esto, expreso cada término como

$$b_k = \frac{a_k}{2 k+1}$$

donde

$$a_k = \frac{1}{2^{2 k}} \binom{2 k}{k}$$

Utilizando, por ejemplo, la fórmula de Stirling, se puede demostrar que

$$a_k \sim \frac{1}{\sqrt{\pi k}} \quad (k \to \infty)$$

de modo que la prueba de la proporción de los coeficientes proporciona

$$\frac{b_{k+1}}{b_k} \sim \left(1+\frac{1}{k}\right)^{-1/2} \left (1+\frac{2}{2 k+1}\right) \sim 1+\frac{1}{2 k}\quad (k \to \infty)$$

La prueba del límite no es concluyente, ya que el límite si la relación es $1$ . Sin embargo, podemos ver que la serie converge por la prueba de comparación porque los términos de la suma se comportan como

$$b_k \sim \frac{1}{2 \sqrt{\pi}} k^{-3/2} \quad (k \to \infty)$$

Dicho esto, sabemos que la serie converge a $\pi/2$ como sigue: considere la función generadora

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \frac{x^{2 k+1}}{2 k+1}$$

Entonces, para todos los $x$ dentro del radio de convergencia de la serie de la derecha, podemos diferenciar para obtener

$$f'(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \, x^{2 k} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Por lo tanto,

$$f(x) = \arcsin{x}$$

y la serie tiene valor $f(1) = \pi/2$ .

Answer 2

La prueba de la proporción no es suficiente.

Ejemplo 1:

$$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$$

$$\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{\left(\dfrac{1}{n}\right)}{\left(\dfrac{1}{n+1}\right)}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$

La proporción será $1$ si $n--->\infty$

Pero sabemos que la serie S es divergente.

Así que la prueba de la razón nos dice Si la razón es 1. tal vez la serie será convergente. Necesitamos más pruebas para determinar el resultado.

Te voy a dar un método de cómo puedes abordar dichas series.

$$f(x)=x+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\dfrac{x^7}{7}+\cdots$$

$$f'(x)=1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^4+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^6+\cdots$$

$$f''(x)=x+\dfrac{1\cdot 3}{2}x^3+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^5+\cdots$$

$$\int_0^x \frac{f''(x)}{x} dx=x+\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^5+\cdots$$

$$\int_0^x \frac{1}{x}\int_0^x \frac{f''(t)}{t} dt dx=f(x)$$

$$\int_0^x \frac{f''(x)}{x}dx=xf'(x)$$

$$ \frac{f''(x)}{x}=xf''(x)+f'(x)$$

$$ \int_0^x \frac{f''(x)}{f'(x)} dx=\int_0^x\frac{x}{1-x^2} dx$$

$$ \ln f'(x)=-\frac{1}{2}\ln{(1-x^2)} $$

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ f(x)=\arcsin(x) $$

$$\arcsin(x)=x+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\dfrac{x^7}{7}+\cdots$$

$x=1$

$$\arcsin(1)=1+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\dfrac{1}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\dfrac{1}{7}+\cdots$$

$$\dfrac{\pi}{2}=1+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\dfrac{1}{5}+\dfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\dfrac{1}{7}+\cdots$$

Puede utilizar el mismo método y para mostrar la serie $$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$$ es divergente.

$$f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}+\cdots$$

$$f'(x)=1+x+x^2+x^3+x^4\cdots=\frac{1}{1-x}$$ $$\int_0^x f'(x) dx=f(x)=-\ln{(1-x)}$$

$x=1$

$$f(1)=-\ln{0}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots$$