Un personaje en $\mathbb A_K$ induce un divisor

Question

Definiciones preliminares: Deje $K$ ser una expresión algebraica de la función de campo de más de $\mathbb F_p$ es decir $K$ es una extensión finita de $\mathbb F_p(t)=K_0$. Para cualquier discreta valoración $v$$K$, un personaje en $K_v$ es un grupo continuo homomorphism $\xi_v: K_v\to S^1$, donde claramente $K_v$ es la culminación de $K$ con respecto al $v$.

El conductor de la $\xi_v$ es:

$$\mathfrak c_{\xi_v}:=\min \{r\in\mathbb Z\colon \xi_v(\mathfrak p^r_v)=0\}$$

Para cualquier lugar de $v$ $K$ vamos a definir los siguientes caracteres: $$\psi_v(a):=e^{\frac{2\pi i}{p} \operatorname{res}\left (\operatorname{tr}_{K_v|K_0}(a)\right)}$$ donde $\operatorname{res}(\cdot)$ es lo habitual en la Tate de residuos mapa en $K_0$, y claramente en la fórmula anterior, consideramos a cualquier elevación en $\mathbb Z$$\operatorname{res}\left (\operatorname{tr}_{K_v|K_0}(a)\right)\in\mathbb F_p$.

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Pregunta: El producto $\psi:=\prod_{v}\psi_v$ es un bien de carácter definido en el anillo de adeles $\mathbb A_K$. En Valenza Y Ramakrishnan del libro en el capítulo 7.2 los autores afirman que $\psi$ induce un divisor de la siguiente manera: $$D_\psi:=\sum_v-\mathfrak c_{\psi_v}v$$

No entiendo por qué todos pero un número finito de enteros $\mathfrak c_{\psi_v}$ son igual a $0$. Puede usted explicar este punto por favor?

Uno debe demostrar que todos, pero un número finito de $\psi_v$ han conductor igual a $0$. El conductor del residuo mapa en $K_0$ siempre $0$, ya que el residuo de mapa es el $a_{-1}$ plazo en el Laurent de expansión, por lo tanto, algo que sucede con el rastro...

Answer 1

La manera en que me enteré de esto viene de un truco llamado el "no pequeño subgrupo" argumento. Como usted dice, $\psi = \prod\limits_v \psi_v$ es un continuo homomorphism de $\mathbb{A}_K$ a $S^1$.

Deje $U$ ser el conjunto de puntos en $S^1$ que se encuentran en la mitad derecha del plano, es decir,$U = \{ e^{i \theta} : -\pi/2 < \theta < \pi/2 \}$. Lo importante acerca de la $U$ es que está abierto en $S^1$, y no contiene ningún subgrupos de $S^1$ a excepción de la trivial.

Desde $\psi$ es continua, $\psi^{-1}(U)$ debe ser un conjunto abierto en $\mathbb{A}_K$. De curso $0 \in \psi^{-1}(U)$.

Si $S$ es un conjunto finito de lugares, y $n_v : v \in S$ es una colección de enteros positivos,

$$N = \prod\limits_{v \in S} \mathfrak p_v^{n_v} \prod\limits_v \mathcal O_v$$

es un subgrupo abierto de $\mathbb{A}_K$. Estos $N$ forma de un barrio de la base de la identidad, en el sentido de que para cualquier vecindad $W$ de la identidad de $\mathbb{A}_K$, se puede elegir la $S$ e las $n_v$ lo suficientemente grande como para que $N$ está contenido en $W$. En particular, podemos organizar que $N$ estar contenida en $\psi^{-1}(U)$.

A continuación, $\psi(N)$ está contenido en $U$. Desde $N$ es un subgrupo de $\mathbb{A}_K$, $\psi(N)$ es uno de los $S^1$, y así debemos tener $\psi(N) = \{1\}$. Esto nos dice dos cosas:

1 . El núcleo de $\psi$ está abierto: contiene un subgrupo abierto $N$, por lo que está abierto como una unión de cosets $a + N : a \in \textrm{Ker } \psi$.

2 . Para todos los $v$ fuera $S$, $\psi$ (realmente, $\psi_v$) es trivial en $\mathcal O_v$. Así que para tales $v$, $\mathfrak c_v = 0$.