Álgebras booleanas no isomórficas sin átomos

Question

Todas las álgebras contables sin átomos son isomorfas. ¿Se puede dar un ejemplo de un par de álgebras booleanas sin átomos mutuamente no isomorfas de cardinalidad continua?

Answer 1

Tome $\mathfrak{A}$ para ser el álgebra de la medida de Lebesgue y $\mathfrak{B} = P\mathbb{N}/[\mathbb{N}]^{\lt \omega}$ el álgebra cociente de $P\mathbb{N}$ módulo del ideal de conjuntos finitos. Entonces ambos son sin átomos y tienen cardinalidad continua pero no son isomorfos porque $\mathfrak{A}$ es ccc mientras que $\mathfrak{B}$ no lo es.

Answer 2

Dejemos que $\langle X,\tau\rangle$ sea un espacio topológico. Un conjunto $U\in\tau$ es un conjunto abierto regular si $\operatorname{int}_X\,\operatorname{cl}_XU=U$ . Sea $\mathrm{RO}(X)$ sea la familia de subconjuntos abiertos regulares de $X$ . Para $U,V\in\mathrm{RO}(X)$ definir

$$\begin{align*} &U\land V=U\cap V,\\ &U\lor V=\operatorname{int}_X\,\operatorname{cl}_X(U\cup V),\\ &\lnot U=X\setminus\operatorname{cl}_XU,\text{ and}\\ &U\le V\text{ iff }U\subseteq V\;; \end{align*}$$

es bien sabido que esto hace que $\mathrm{RO}(X)$ un álgebra booleana completa. Es evidente que esta álgebra no tiene átomos si $X$ es $T_2$ y no tiene puntos aislados. En particular, $\mathrm{RO}(\Bbb R)$ no tiene átomos. Como $\Bbb R$ es segundo contable, está claro que $|\mathrm{RO}(\Bbb R)|\le 2^\omega$ . Por otro lado, para cualquier $A\subseteq\Bbb Z$ el conjunto $$\bigcup_{n\in A}\left(n-\frac14,n+\frac14\right)$$ es regularmente abierto, y hay claramente $2^\omega$ tales conjuntos, por lo que $|\mathrm{RO}(\Bbb R)|=2^\omega$ . En resumen, $\mathrm{RO}(\Bbb R)$ es un álgebra booleana completa y sin átomos de potencia $2^\omega$ .

Ahora dejemos que $\mathscr{B}=\wp(\omega)/[\omega]^{<\omega}$ el cociente del álgebra de conjuntos de potencias de $\omega$ por el ideal de subconjuntos finitos de $\omega$ . Desde $|\wp(\omega)|=2^\omega$ y $\left|[\omega]^{<\omega}\right|=\omega$ está claro que $|\mathscr{B}|=2^\omega$ . También está claro que $\mathscr{B}$ no tiene átomos. Sin embargo, $\mathscr{B}$ no es completa, por lo que debe ser distinta de $\mathrm{RO}(\Bbb R)$ .

Para ver que $\mathscr{B}$ no está completo, dejemos que $\{A_n:n\in\omega\}$ sea una partición de $\omega$ en subconjuntos infinitos. Para cada $A\subseteq\omega$ denotar por $\widehat A$ su clase de equivalencia en $\mathscr{B}$ . Si $\widehat S$ es cualquier límite superior en $\mathscr{B}$ para $\{\widehat{A_n}:n\in\omega\}$ , $|A_n\setminus S|<\omega$ para cada $n\in\omega$ por lo que para cada $n\in\omega$ podemos elegir $s_n\in S\cap A_n$ . Sea $T=\{s_n:n\in\omega\}$ y que $S\,'=S\setminus T$ claramente $|A_n\setminus S\,'|<\omega$ para cada $n\in\omega$ Así que $\widehat{S\,'}$ es un límite superior para $\{\widehat{A_n}:n\in\omega\}$ pero también está claro que $\widehat{S\,'}<_{\mathscr{B}}\widehat{S}$ .

(También se puede observar que $\mathrm{RO}(\Bbb R)$ es ccc, mientras que $\mathscr{B}$ no lo es, pero t.b. ya utilizó esa idea, así que pensé en hacer algo diferente).

Answer 3

Dejemos que $B_0$ sea el álgebra booleana libre generada por $2^{\aleph_0}$ generadores. Obsérvese que tiene $2^{\aleph_0}$ elementos y por construcción cadenas descendentes de longitud $\omega$ . Por otro lado, tome el lenguaje de las álgebras booleanas y añada $2^{\aleph_0}$ muchas constantes, $(c_\alpha)_{\alpha<2^{\aleph_0}}$ . Tomemos la teoría que contiene la teoría de las álgebras booleanas sin átomos más las sentencias $c_\alpha<c_\beta$ para todos $\alpha>\beta$ . Esto es ciertamente finitamente satisfacible por el álgebra booleana sin átomos contable. Por tanto, por compacidad es satisfacible y tiene un modelo $B_1$ . De hecho por el teorema de Lowenheim-Skolem se puede hacer $B_1$ de tamaño $2^{\aleph_0}$ .

Ahora $B_0$ y $B_1$ no son isomorfas ya que se tienen secuencias descendentes de tamaño $\omega$ mientras que el otro contiene una secuencia descendente de tamaño $2^{\aleph_0}$ .

Answer 4

Lo intentaré:

Si no me equivoco, la cardinalidad de la terminación del álgebra booleana sin átomos contablemente infinita es la del continuo.

Para el segundo ejemplo, tomemos el álgebra booleana generada libremente por el conjunto de todos los reales.

Pero no estoy del todo seguro de que no sean isomorfas, por lo que esta respuesta no es del todo completa.

Edición posterior: Apostolos ha publicado ahora mi segundo ejemplo más otro, que demuestra que no es isomorfo a éste.