Que $R$ ser un anillo comutativo, $\phi :R\to S^{-1}R, \phi(r)=\frac{r}{1}$ $\phi(r)$ es invertible iff $r\in S$

Question

$R$ es un arbitrario anillo comutativo con identidad, y $S\subset R$ es multiplicativa. He leído que el mapa $\phi :R\to S^{-1}R, \phi(r)=\frac{r}{1}$ se caracteriza por el conjunto de $S'=\{s:\phi(s)\text{ is invertible}\}$, pero parece que no puedo probar que $S'=S$ necesariamente. Lo mejor que puedo hacer es probar $S\subset S'$.

Answer 1

Deje $\varphi: R \rightarrow S^{-1}R$ ser la canónica anillo homomorphism. A continuación, $\varphi$ envía elementos de $S$ a unidades en $S^{-1}R$. La declaración de "Esta propiedad caracteriza a $S^{-1}R$" probablemente significa lo siguiente:

Deje $C$ ser cualquier anillo conmutativo con identidad, y deje $\textrm{Hom}_{\textrm{Ring}}(S^{-1}R,C)$ el conjunto de anillo homomorphisms de$S^{-1}R$$C$. A continuación, la asignación de $\psi \mapsto \psi \circ \varphi$ es un bijection de $\textrm{Hom}_{\textrm{Ring}}(S^{-1}R,C)$ en el conjunto de anillo homomorphisms de $R$ $C$mapa de $S$ en las unidades de $C$.

En otras palabras, si $f: R \rightarrow C$ es un anillo homomorphism que envía a los elementos de $S$ a unidades en $C$, hay un único anillo homomorphism $\psi: S^{-1}R \rightarrow C$ que $f = \psi \circ \varphi$.

Mi interpretación de por qué esta propiedad es importante: "el conjunto de todos los anillos que homomorphisms de un anillo a otro" es una elegante cosa, mientras que "el conjunto de todos los anillos que homomorphisms de un anillo a otro que satisface la propiedad de que..." es feo. El resultado que he mencionado permite respecto de otro modo la cosa fea como un elegante cosa.

Answer 2

Aquí es un ejemplo concreto donde $S' \neq S$: vamos a $R = \mathbb{Z}$, e $S = \{ 4^n \mid n \ge 0 \}$, y deje $\phi : R \to S^{-1}R$ ser la localización. A continuación, $\phi(4)$ es invertible, por definición; pero $\phi(4) = \phi(2) \phi(2)$, por lo tanto $\phi(2)$ es invertible (el inverso de ser $\phi(2)\phi(4)^{-1}$), sin embargo $2 \not\in S$.

Aquí está un ejemplo aún peor. Deje $R$ ser cualquier anillo, y $S = \{1,0\}$ (un subconjunto multiplicativo). A continuación, $\phi(0) = 0$ tiene que ser invertible! Un anillo en el que $0$ es invertible tiene que ser el cero del anillo, y $\phi(r) = 0$ todos los $r$ entonces es invertible. De ello se desprende que $S'$ es de $R$, aunque $S$ no era, en general.

Answer 3

Lo que usted dice no es cierto, por ejemplo si $S = \{ab\}$, entonces esto no sólo de la fuerza de $\,ab\,$ a sea invertible, sino también a $\,a,b\,$ desde $\,1/a = b/ab,\ 1/b = a/ab$.

En lugar de ello, el documento se refiere probablemente a la siguiente caracterización de localizatons a través de su universal de asignación de la propiedad (de Atiyah & MacDonald, Álgebra Conmutativa, p. 39).