¿Si $I = \langle 2\rangle$, por qué $I[x]$ no es un ideal maximal de $\mathbb Z[x]$, a pesar de que $I$ es un ideal maximal de $\mathbb Z$?

Question

Que $I = \langle 2\rangle$. Prueba $I[x]$ no es un ideal maximal de $\mathbb Z[x]$ aun cuando $I$ es un ideal maximal de $\mathbb Z$.

Mi profesor mencionó que debo tratar de añadir algo a él para demostrar que $I[x]$ no es el ideal máximo. ¿Quiero suponer que quería añadir $ \langle 2 \rangle$ $I[x]$?

Answer 1

Indirecta: $\langle 2 \rangle$ se contiene terminantemente en $\langle 2,x \rangle$

Answer 2

$\mathbb Z[x]/I[x] \simeq (\mathbb Z/I)[x] = \mathbb F_2[x]$, que es un dominio pero no del campo.

Answer 3

Nota: no es el máximo ideal, sino más bien un ideal maximal, ya que para cada primer $p$, $\langle p \rangle$ es máxima en $\mathbb Z$. Para ver esto, observe que $\langle p \rangle = p \mathbb Z \subsetneq \mathbb Z$ e si $\langle p \rangle \subsetneq I$, entonces hay un $i \in I$ tal que $i$ no es un múltiplo de a $p$. Desde $p$ es primo tiene $\gcd (p,i) = 1$, lo que significa que no existe $k,n \in \mathbb Z$ tal que $ki + np = 1 \in I$ y, por tanto,$I = \mathbb Z$.

Ahora para demostrar que $I[x]$ no es máxima en $\mathbb Z[x]$ uso België la respuesta. Usted necesita encontrar un verdadero ideal $J$ $\mathbb Z$ tal que $I[x] \subsetneq J \subsetneq \mathbb Z[x]$.

Desde $I = \langle 2 \rangle$, añadiendo $\langle 2 \rangle $ $I[x]$rendimientos $I[x]$ nuevo, así que tu idea no funciona en este caso.

Tal vez esto ayuda a: ¿qué es $I[x]$? Es de todos los polinomios con incluso coeficientes. Para conseguir un ideal $J$ que si bien contiene $I[x]$ usted puede unirse a otro elemento. El elemento que lindan no puede ser en $\mathbb Z$, ya que si es par, se termina con $I[x]$ nuevo y si es impar se termina con $\mathbb Z$. Así que lo que lindan tiene que contener la $x$.

Answer 4

% Toque $\ $el punto de la pista es que si $(2)$ no es máximo entonces se esté contenida correctamente en un ideal $\rm\:M\ne (1),\:$ así que podemos verla en $(2),$ mientras mantiene eligiendo cualquier $\ne(1),\:$ % entonces $\rm\:f\in M,\ f\not\in(2).\:$claramente $\rm\:(2) \subsetneq (2,f) \subset M\subsetneq (1).\:$$\rm\:f\:$ debe ser un nonunit no divisible por $2,\:$ y por el contrario funciona cualquier tal $\rm\:f\:$. ¿Usted puede encontrar uno?