¿Cómo puede $e^a = 0$ integración?

Question

Me estaba haciendo una pregunta que me preguntó a su vez de la siguiente ecuación polar:$$(y + x − x(x^2 + y^2))\frac{dy}{dx} = y − x − y(x^2 + y^2)$$

Con una gran cantidad de desorden álgebra I puede llegar a: $$\frac{1}{2}\ln \left\lvert\frac{{r^{2} - 1}}{r^2}\right\rvert = \theta + k.$$ Que es sin duda correcta. Desde allí: $$\pm{e^{2\theta+2k}}=\frac{r^2-1}{r^2}$$ deje $e^{2k}=A$ $$\pm{}Ae^{2\theta}=1-\frac{1}{r^2}$$ $$1\mp{Ae^{2\theta}}=\frac{1}{r^2}$$ $$r^2=\frac{1}{1\mp{Ae^{2\theta}}}$$ Como $ A>0$ $e^{2k}\neq0$ donde $C\neq0$ $$r^2=\frac{1}{1+Ce^{2\theta}}$$ En este punto, me piden que dibuje la gráfica de los distintos valores posibles de C, que supuse que significaba para$C>0$$C<0$, sin embargo al parecer, $C=0$ es válido. Yo estoy luchando para entender por qué es posible. Significaría eso que $k=-\infty$? Si alguien puede explicar este / corregir los problemas con mi trabajo, me gustaría ayudarme se lo agradeceria mucho

Answer 1

Veamos un simple (pero de otro modo análogo) ejemplo: $$ \frac{dy}{dx} = y. $$ El método habitual de la solución es separar variables, integrar y resolver $y$: $$ \frac{dy}{y} = dx,\qquad \ln|y| = x + C,\qquad y = Ae^{x},\quad A = \pm e^{C}. $$ (La elección de los signos surge cuando deje el valor absoluto de $y$.) Ahora, $e^{C}$ no puede ser cero, pero el $A$ en la fórmula $y = Ae^{x}$ sin duda puede ser cero. ¿Por qué nuestro método no ver esta solución?

Nuestro primer paso fue dividir por $y$. Si $A = 0$,$y \equiv 0$, y nuestro primer paso se vuelve sin sentido. En otras palabras, nuestro método de solución implícitamente omitido el caso de $A = 0$.

Sin embargo, es trivial comprobar que $y = 0$ resuelve la educación a distancia.

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En su situación, usted ha perdido la constante de la solución de $r = 1$ en la primera de la siguiente expresión "después de un montón de desorden álgebra...": $$ \ln \left\lvert\frac{\sqrt{r^{2} - 1}}{r}\right\rvert = \theta + k. $$ No obstante, $r = 1$, un.k.una. $x^{2} + y^{2} = 1$, es de suponer que satisface su ODA. (No parece ser una solución como se escribió, sin embargo....)

Answer 2

El punto básico, creo que es esto. Una familia de soluciones de una ecuación diferencial analítica, dado por una función analítica con un parámetro, será válida en cualquier conjunto abierto conectado de los valores de la variable independiente y el parámetro, como su estancia en la región de analyticity. Así que incluso si supone $C > 0$ en su derivación de la solución, el resultado final será bueno para todos $C$, como evitar singularidades.