Encontrar un vector propio explícito

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ sobre un campo y que $\operatorname{adj}(A)$ denotan su adjunto clásico. Supongamos que todas las sumas de columnas de $A$ son cero para que $A$ es singular.

Si $\operatorname{rank}(A) = n-1$ el adjunto es distinto de cero. Por lo tanto, cualquier columna no nula de $\operatorname{adj}(A)$ proporciona un vector propio explícito (derecho) de $A$ en el espacio nulo porque $A\operatorname{adj}(A)=0$ .

Lamentablemente, si $\operatorname{rank}(A)\le n-2$ el adjunto es idéntico a cero, por lo que no se obtiene un vector propio. Aquí está la pregunta:

¿Hay alguna manera de modificar lo anterior para obtener un vector propio explícito en el espacio nulo cuando $\operatorname{rank}(A)\le n-2$ ?

(Lo que se desea es una fórmula y no un algoritmo).

Gracias

Answer 1

Dejemos que $p(\lambda)=\det(A-\lambda Id)$ . Desde $\det(A)=0$ entonces $p(\lambda)=\lambda^kq(\lambda)$ tal que $q(0)\neq 0$ .

Observe que $q(A)\neq 0$ porque $A$ no es invertible y $q(0)\neq 0$ .

Si $Aq(A)=0$ entonces existe una columna no nula de $q(A)$ en el núcleo de $A$ .

Si $Aq(A)\neq 0$ y $A^2q(A)=0$ entonces existe una columna no nula de $q(A)$ en el núcleo de $A$ .

Podemos repetir el argumento hasta encontrar algún $s$ tal que $A^{s-1}q(A)\neq 0$ y $A^{s}q(A)= 0$ (existe tal $s$ porque $A^{k}q(A)= 0$ ).

OBS: Observe que si $rank(A)=n-1$ entonces $Adj(A)=-q(A)$ .