Suavidad de hiperplano secciones

Question

Supongamos que $X\subset \mathbb{P}^n$ es una hipersuperficie liso definido en $\mathbb{Q}$. "Genérico" % primer $p$, ¿qué puede decirse acerca del conjunto de hyperplanes $H$ $\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_p)$ que %#% es lisa $H \cap X$ #%? $\mathbb{F}_p$ Fijadas y $p$ variables, por el contrario, la situación puede ser arbitrariamente mala: de hecho, cada sección de hiperplano de

$X$ ${\sum_{i=1}^{n+1}X_i X_{i+n+1}^p=0} \subset \mathbb{P}^{2n+1}$ es singular.

Answer 1

Extendió $X$ sobre algunos $R=\mathbf{Z}[1/n]$ a una hipersuperficie $\mathcal{X} \subseteq \mathbf{P}^n_R$, que es suave y proyectiva sobre $R$. El estándar de prueba de la Bertini suavidad teorema (como se da en Hartshorne, la geometría Algebraica, por ejemplo) funciona a través de $R$: hay un Zariski denso abierto subscheme $U$ de la doble espacio proyectivo $\mathbf{P}^n_R$ tal que para $p \nmid n$, el hyperplanes $H$ $\mathbf{P}^n_{\mathbf{F}_p}$ tal que $H \cap \mathcal{X}_p$ es suave son exactamente los correspondientes a $\mathbf{F}_p$-puntos de $U$. El complemento de $U$ tiene más de $O(p^{n-1})$$\mathbf{F}_p$$p \to \infty$, pero $\#\mathbf{P}^n(\mathbf{F}_p)= p^n+p^{n-1}+\cdots+1$, por lo que al $p$ es lo suficientemente grande, la mayoría de los hyperplanes $\mathbf{F}_p$ se cruzará con el de fibra de $\mathcal{X}_p$ en algo suave.

Answer 2

Por Robinson el teorema en el modelo de la teoría, la reducción de la $X_p$ es suave sobre la $\bar{F_p}$ en casi todas las $p$. Por Bertini del teorema, $X_p \cap H$ es lo suave para H que van sobre un subconjunto denso de la hyperplane secciones posible en $P^n(\bar{F_p})$.

Creo que la declaración de nonsingularity puede ser declarado dentro de la lógica de primer orden. Nonsingularity es local, por lo que asumen $X$ afín. Deje que el ideal de la $X$ ser generados por $f_1, \dots, f_{n-d}$. Luego nonsingularity significa que cada punto donde $f_1, \dots, f_{n-d}$ se desvanecen, un cierto Jacobiana determinante es distinto de cero.

Answer 3

Usted puede estar interesado en el papel: "Bertini teoremas sobre finito Fields"(2002) Bjorn Poonen.