Polinomios con simetría de $S_n \times \mathbb{Z}_2$

Question

Supongamos que un polinomio $p(x_1\ldots x_n, y_1\ldots y_n)$ $2n$ variables es invariante bajo las siguientes operaciones:

1) $p(x_1\ldots x_n, y_1\ldots y_n)=p(y_1\ldots y_n, x_1\ldots x_n)$

2) $\forall \sigma\in S_n, p(x_1\ldots x_n, y_1\ldots y_n)=p(y_{\sigma(1)}\ldots y_{\sigma(n)}, x_{\sigma(1)}\ldots x_{\sigma(n)})$

En otras palabras, el polinomio tiene un grupo de simetría $S_n \times \mathbb{Z}_2$.

Mi pregunta es: ¿hay un simple polinomio de base para polinomios de grado $\leq d$ con esta simetría?

Claramente se puede encontrar una base lineal de tales polinomios tomando monomials y la aplicación de todos los elementos del grupo de simetría. Por ejemplo, una base lineal para este espacio está dada por los polinomios de la forma

$\displaystyle\sum_{i_1\neq i_2 \neq \ldots i_d =1}^{n} \left(x_{i_1}^{\alpha_1} x_{i_2}^{\alpha_2} \ldots x_{i_d}^{\alpha_d} y_{i_1}^{\beta_1} y_{i_2}^{\beta_2} \ldots y_{i_d}^{\beta_d}+ y_{i_1}^{\alpha_1} y_{i_2}^{\alpha_2} \ldots y_{i_d}^{\alpha_d} x_{i_1}^{\beta_1} x_{i_2}^{\beta_2} \ldots x_{i_d}^{\beta_d} \right)$

donde $\alpha_1,\ldots, \alpha_d, \beta_1, \ldots \beta_d$ son una cadena de números enteros suma a $\leq d$. El tamaño de esta base las escalas de forma exponencial con $d$.

Me estoy preguntando si hay una forma mucho más simple polinomio . (En otras palabras, si cada polinomio $p$ puede ser escrito como un polinomio $q$ en algunos simple base de los elementos, donde $q$ es un polinomio genérico). Lo ideal es que el número de elementos en base a crecer exponencialmente con el $d$. Por ejemplo, en el caso de polinomios en $n$ variables con el grupo de simetría $S_n$, la primaria simétrica polinomios de grado $\leq d$ son un simple polinomio de base para el espacio de $S_n$-simétrica polinomios de grado $\leq d$, con sólo $d$ elementos en la base. (En contraste, una base lineal para este espacio tiene muchos elementos, a saber, el número de particiones de $d$.) Me estoy preguntando si existe un análogo polinomio base conocida para el caso de $2n$ variables y el grupo de simetría $S_n\times \mathbb{Z}_2$. Cualquier sugerencia se agradece mucho.

Answer 1

Denotar $G=S_n \times \mathbb{Z}_2$. Deja que el grupo $G$ actúa sobre el polinomio anillo $k[X_{i,j}], i \leq n, l =\{0,1\}$ ($k$ ser un campo de chracteristic $0$)$(\sigma, l)=X_{\sigma(i),{j+l \mod 2}} $. Para hallar una base del álgebra $k[X_{i,j}]^G$ $G$- invariantes debe utilizar el $G$-homomorphism $k[X_{i,j}] \to k[X_{i,j}]^G$, $f \mapsto R(f)$ donde $R$ es el Reinolds operador promedio $$ R=\frac{1}{|C|}\sum_{g \in G}g. $$ A continuación, el álgebra de invariantes $k[X_{i,j}]^G$ es generado por los elementos de a $R(f)$ donde $f$ corre todo polinomio de $k[X_{i,j}]$ grado $2 n!$. Pero, por supuesto, no es de un mínimo de generación del sistema. Espero que el límite superior para el grado de invariantes es $n.$

Algunos de cálculo de $n=4.$
Grado 1. Sólo hay una invariante ( en términos de $x,y$): $$ y_{{2}}+y_{{3}}+y_{{4}}+y_{{1}}+x_{{2}}+x_{{3}}+x_{{4}}+x_{{1}}. $$ Grado 2. No es $ 3$ linealmente independed invariantes $$ {x_{{1}}}^{2}+{x_{{2}}}^{2}+{x_{{3}}}^{2}+{x_{{4}}}^{2}+{y_{{1}}}^{2}+ {y_{{2}}}^{2}+{y_{{3}}}^{2}+{y_{{4}}}^{2},\\ x_{{1}}y_{{1}}+x_{{2}}y_{{2}}+x_{{3}}y_{{3}}+x_{{4}}y_{{4}},\\ x_{{1}}y_{{2}}+x_{{1}}y_{{3}}+x_{{1}}y_{{4}}+x_{{2}}y_{{1}}+x_{{2}}y_{ {3}}+x_{{2}}y_{{4}}+x_{{3}}y_{{1}}+x_{{3}}y_{{2}}+x_{{3}}y_{{4}}+y_{{1 }}x_{{4}}+x_{{4}}y_{{2}}+x_{{4}}y_{{3}} $$ Grado 3. He encontrado $6$ invariantes $$ {x_{{1}}}^{3}+{x_{{2}}}^{3}+{x_{{3}}}^{3}+{x_{{4}}}^{3}+{y_{{1}}}^{3}+ {y_{{2}}}^{3}+{y_{{3}}}^{3}+{y_{{4}}}^{3} ,\\ {x_{{1}}}^{2}y_{{1}}+{x_{{2}}}^{2}y_{{2}}+{x_{{3}}}^{2}y_{{3}}+{x_{{4} }}^{2}y_{{4}}+{y_{{1}}}^{2}x_{{1}}+{y_{{2}}}^{2}x_{{2}}+{y_{{3}}}^{2}x _{{3}}+{y_{{4}}}^{2}x_{{4}},\\ \left( x_{{1}}x_{{3}}+x_{{1}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{2}} \right) y_{{1}}+ \left( x_{{2}}x_{{3}}+x_{{1}}x_{{2}}+x_{{2}}x_{{4}} \right) y_{{2}}+ \left( x_{{3}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{3}}+x_{{2}}x_{{3}} \right) y_{{3}}+ \left( x_{{1}}x_{{4}}+x_{{2}}x_{{4}}+x_{{3}}x_{{4}} \right) y_{{4}}+ \left( x_{{1}}+x_{{2}} \right) y_{{2}}y_{{1}}+ \left( x_{{1}}+x_{{3}} \right) y_{{3}}y_{{1}}+ \left( x_{{4}}+x_{{1}} \right) y_{{4}}y_{{1}} + \left( x_{{2}}+x_{{3}} \right) y_{{3}}y_{{2}}+ \left( x_{{2}}+x_{{4} } \right) y_{{4}}y_{{2}}+ \left( x_{{3}}+x_{{4}} \right) y_{{4}}y_{{3} },\\ \left( {x_{{4}}}^{2}+{x_{{3}}}^{2}+{x_{{2}}}^{2} \right) y_{{1}}+ \left( {x_{{1}}}^{2}+{x_{{4}}}^{2}+{x_{{3}}}^{2} \right) y_{{2}}+ \left( {x_{{2}}}^{2}+{x_{{1}}}^{2}+{x_{{4}}}^{2} \right) y_{{3}}+ \left( {x_{{3}}}^{2}+{x_{{1}}}^{2}+{x_{{2}}}^{2} \right) y_{{4}}+ \left( x_{{4}}+x_{{2}}+x_{{3}} \right) {y_{{1}}}^{2}+ \a la izquierda( x_{{1}}+ x_{{3}}+x_{{4}} \right) {y_{{2}}}^{2}+ \a la izquierda( x_{{1}}+x_{{2}}+x_{{4}} \right) {y_{{3}}}^{2}+ \a la izquierda( x_{{3}}+x_{{1}}+x_{{2}} \right) {y_{{4} }}^{2},\\ x_{{1}}x_{{2}}x_{{3}}+x_{{1}}x_{{2}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{3}}x_{{4}}+x_{{ 2}}x_{{3}}x_{{4}}+y_{{1}}y_{{2}}y_{{3}}+y_{{1}}y_{{2}}y_{{4}}+y_{{1}}y _{{3}}y_{{4}}+y_{{2}}y_{{3}}y_{{4}},\\ \left( x_{{2}}x_{{4}}+x_{{2}}x_{{3}}+x_{{3}}x_{{4}} \right) y_{{1}}+ \left( x_{{3}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{3}} \right) y_{{2}}+ \left( x_{{1}}x_{{4}}+x_{{2}}x_{{4}}+x_{{1}}x_{{2}} \right) y_{{3}}+ \left( x_{{1}}x_{{3}}+x_{{1}}x_{{2}}+x_{{2}}x_{{3}} \right) y_{{4}}+ \left( x_{{3}}+x_{{4}} \right) y_{{2}}y_{{1}}+ \left( x_{{2}}+x_{{4}} \right) y_{{3}}y_{{1}}+ \left( x_{{2}}+x_{{3}} \right) y_{{4}}y_{{1}} + \left( x_{{4}}+x_{{1}} \right) y_{{3}}y_{{2}}+ \left( x_{{1}}+x_{{3} } \right) y_{{4}}y_{{2}}+ \left( x_{{1}}+x_{{2}} \right) y_{{4}}y_{{3} }, $$

y así sucesivamente..