Supremum de una función medible de producto...

Question

Esta es una pregunta interesante que ha dejado perplejos a la totalidad de mi teoría de la medida de la clase, incluyendo el profesor:

Demostrar o refutar:

Vamos $(X,\mathcal A)$, $(Y,\mathcal B)$ se miden los espacios.

Deje $f$ ser un $\mathcal A$ $\times$ $\mathcal B$ medible no negativa de la función, y vamos a $g(x)$ $=$ $sup_{y \in Y}f(x,y)$, con $g(x)<\infty$ todos los $x$. Es $g(x)$ necesariamente un $\mathcal A$medible de la función?

Todos sentimos la respuesta es no, dado que los segmentos son medibles, y sup mensurables funciones sólo están garantizados para ser medibles a través de una contables índice. Pensamos que la respuesta correcta es empezar con una nonmeasurable set$S$$X$, y tratar de construir un conjunto de $T$ $Y$ que hace $S \times T$ medibles en $\mathcal A \times \mathcal B$, pero sospechamos que esto es muy difícil, sin más orientación.

Alguna idea?

Answer 1

Aquí está un ejemplo en el que el resultado de la función $g$ es nonmeasurable, pero sólo un poco así:

Dejamos $X=Y=[0,1]$, dotado de la Borel $\sigma$-álgebra. Dejamos $A\subseteq [0,1]^2$ ser un conjunto de Borel tal que la proyección de $\pi_X(A)$ a la primera coordenada no es Borel (y, por tanto, sólo analítica) y $f=1_A$ ser la función de indicador de $A$. A continuación, $g$ es la función de indicador de $\pi_X(A)$ y de ahí no Borel medible. Sin embargo, $g$ será medible con respecto a cada medida de probabilidad en $X$.

Este problema en realidad es un típico ejemplo de por qué uno de los usos analíticos conjuntos en problemas de optimización. Para una buena introducción, ver Algunos Medición de los Resultados de Extremos de Funciones Aleatorias sobre grupos Aleatorios por Stinchcombe y White.

Answer 2

El siguiente es Corolario 2.13 de Crauel, al Azar la Probabilidad de Medidas en polaco Espacios:

Supongamos que $f\colon X\times\Omega\to \mathbb{R}$ es producto medible, donde $(\Omega,\mathcal{F})$ es un espacio medible y $X$ es un polaco espacio equipado con su Borel $\sigma$-álgebra. Vamos $C\colon\Omega\to 2^X$, $\omega\mapsto C(\omega)$, ser cualquier conjunto de valores de asignación tal que $\textrm{graph}(C)$ es producto medible, a continuación, $\omega\mapsto\sup_{x\in C(\omega)}f(x,\omega)$ es medible con respecto a la de la conclusión universal de $\mathcal{F}$.

En particular, uno puede entonces tomar $C(\omega)\equiv X$.