Segunda distribución de momento de Beta

Question

Estoy practicando el Método de los Momentos y en este problema, estoy un poco atascado en el álgebra en mi cálculo del segundo momento. Yo sinceramente agradezco cualquier consejo sobre lo que salió mal:

Deje $X_1, \dots X_n$ ser una muestra aleatoria de $Beta(\alpha, \alpha)$, de encontrar un Método de Momentos estimador de $\alpha$

Mi intento: $$ E(X) =\frac{\alpha}{\alpha + \alpha} = \frac{\alpha}{2\alpha} = \frac{1}{2}$$

y puesto que el estimador no puede ser una constante, necesitamos encontrar el segundo momento (es esta la lógica correcta?): $$ E(X^2) = \frac{(\alpha + 1)\alpha}{(\alpha + \alpha + 1)(\alpha + \alpha)}= \frac{(\alpha + 1)\alpha}{(2\alpha + 1)(2\alpha)}=\frac{(\alpha + 1)}{(4\alpha + 2)}$$

¿El álgebra parece correcto o estoy haciendo algo mal?

Otra pregunta es, ¿sería encontrar el segundo momento será suficiente aquí o recomendaría encontrar la varianza así?

Answer 1

Supongo que te refieres a la derecha, cosa que en el primer momento no permiten aplicar el método de los momentos de la estrategia de equiparación de una población en un momento a una función del parámetro que se pretende estimar, como el momento en que la condición de no identificar el parámetro de aquí.

Esto es intuitivo en el caso de la media, cuando los parámetros de la distribución beta son iguales el uno al otro, como la media (como muestra), a continuación, siempre es igual a $1/2$, no importa lo $\alpha$ generado los datos, por lo que los datos no van a ser de carácter informativo acerca de $\alpha$. O, desde un ángulo positivo: si los parámetros son idénticos, por lo que no necesita datos para encontrar la media de la distribución.

Usted puede utilizar cualquiera de las $E(X^2)$ o $Var(X)$ para estimar el $\alpha$ - esto pone de relieve el hecho de que el método-de momento-estimadores no son únicas. Trabajando con la varianza parece conveniente aquí, como $$ Var(X)=\frac{1}{8\alpha+4}, $$ que puede ser resuelto fácilmente por $\alpha$ para obtener $$ \alpha=\frac{1-4Var(X)}{8Var(X)} $$

La resolución de $$ E(X^2)=\frac{\alpha + 1}{4\alpha + 2} $$ para $\alpha$ es, por supuesto, no es difícil, tampoco, que conduce a la $$ \alpha=\frac{1-2E(X^2)}{4E(X^2)-1} $$ Como método-de momento-estimadores son consistentes, en general, los estimadores de uso de estas expresiones por supuesto va a producir valores similares en muestras grandes, pero no son numéricamente equivalentes:

X <- rbeta(10000, shape1 = 2, shape2 = 2)
Xbarsq <- mean(X^2)
VX <- Xbarsq - mean(X)^2

> alpha1 <- (1-2*Xbarsq)/(4*Xbarsq-1)
[1] 2.033679

> alpha2 <- (1-4*VX)/(8*VX)
[1] 1.986139

Siguiendo @Glen_b la sugerencia de pensar también acerca de la distribución de muestreo, que no parece ser el caso en el que la Mamá estimador basado en la varianza es mucho más eficiente.

Aquí son de densidad de kernel estimaciones a partir de un pequeño estudio de Monte Carlo:

Debería ser posible calcular las varianzas asintóticas de los dos estimadores a través del método delta, pero eso lo dejo para que otros interesados a los lectores :-).

Answer 2

Tu planteamiento parece correcta (es decir, la lógica por la que se decidió buscar en el segundo momento).

El álgebra también es correcta.

No es necesario calcular más momentos para estimar el $\alpha$ pero una vez que un estimador es generalmente de interés para calcular la varianza (y si es posible, la distribución muestral del estimador)