Invariancia de LaSalle, estabilidad de Lyapunov

Question

Tratando de entender el principio de invariancia de LaSalle.

Considere el sistema

$x' = y \\ y' = -y-6x-3x^2$

a) Uso de la función de prueba $V(x,y) = 0.5y^2+3x^2+x^3$ , demuestran que el origen es asintóticamente estable.

El principio dice, a grandes rasgos, que si $S$ es la unión de todas las trayectorias completas contenidas en $\{\textbf{x}: V'(\textbf{x})=0\}$ entonces cualquier trayectoria terminará en $S$ .

En este caso, algunos trabajos nos dan $V' = -y^2$ así que $V'=0$ es cierto para todo el eje x. Cualitativamente, parece claro que si $y=0$ entonces $x'=0$ pero $y'$ nos llevará a un lugar donde $V'<0$ . Es decir, si empezamos en $y=0,x\neq0$ la trayectoria resultante no satisfará $V'=0$ . El origen estará en $S$ sin embargo.

¿Pero no es la secuencia $\{(-2,0),(-2,0),\dots\}$ contenida en $S$ ¿también? ¿Cómo podemos, a partir del principio de invariancia, deducir que acabaremos en el origen y no en el otro equilibrio?

b) Estimar el dominio de atracción. (Añadiendo esto ya que es relevante)

Aquí utilizamos el conjunto de niveles de $V$ que pasa por el otro punto de equilibrio como una estimación, es decir $0.5y^2+3x^2+x^3 = 4$ . ¿Pero no hay un montón de otros puntos que son atraídos por el origen? Me cuesta entender cómo los conjuntos de niveles de $V$ interactuar con $V'$ y en general cómo $V$ y $V'$ interactuar con lo que el equilibrio será atraer.

Answer 1

También creo que la falta de positividad para $V$ es un obstáculo aquí. Ya que $\dot V=-|y|^2=0$ si $y=0$ , establecemos $y=0$ en el sistema y descubrimos que las únicas trayectorias que se encuentran completamente en $S$ son dos equilibrios $(0,0)$ y $(-2,0)$ . Tenga en cuenta que $V(-2,0)=4$ . Por lo tanto, en el conjunto $V(x,y)<4$ el sistema no tiene trayectorias que estén completamente en $S$ excepto el origen, y sería tentador decir que el origen es asintóticamente estable por el principio de LaSalle. Sin embargo, la función de prueba $V$ no es positiva definida, y para aplicar el principio al menos localmente necesitamos encontrar un invariante vecindad D del origen donde $V(x,y)>0$ para todos $(x,y)\in D\setminus \{0\}$ , de lo contrario, la condición $\dot V<0$ es inútil, porque es posible que $V(x(t),y(t))\to-\infty$ y una trayectoria puede escapar $(0,0)$ y vaya a $\infty$ en su lugar. Encontrar tal invariante $D$ no es evidente y muy a menudo equivale a encontrar otra función de prueba positiva.

P.D. El problema original corresponde al sistema de segundo orden $$ x''+x'+\phi(x)=0 $$ donde a menudo la condición $x\phi(x)>0$ se asume precisamente para evitar este tipo de problemas. Véase, por ejemplo, aquí (páginas 19 y 22-23) .

P.P.S. El origen es, efectivamente, localmente estable asintóticamente (por linealización).

ACTUALIZACIÓN:

Resulta que en realidad no es difícil encontrar la invariante $D$ aquí después de que uno haga algún dibujo. El problema era que el conjunto $V(x,y)<4$ no tenía límites y contenía, en particular, puntos en los que $V$ no estaba definida positivamente, por lo que la aplicación del principio no podía justificarse. Sin embargo, tras un examen más detallado del conjunto (véase la figura siguiente) se puede observar que sí, es ilimitado, pero tiene dos componentes conectados Uno en $x<-2$ (sin límites) y uno en $x>-2$ (acotado). Este último puede elegirse como $D$ ya que es invariable y $V$ es positiva definida allí. Una vez que una trayectoria comienza allí no puede entrar en otra componente y escapar. Así que $$ D=\{(x,y)\colon\ V(x,y)\le 4,\ x>-2\}. $$ Esta es también la mejor región de atracción al origen que uno puede asegurar con este función de prueba.

Answer 2

El principio de invariancia de Lasalle sólo se aplica a las funciones de prueba $V(x,y)$ que son positivos definidos. El tuyo no lo es. Puede que sea posible restringir el problema a la región en la que está y aplicar el teorema allí, pero no estoy completamente seguro de ello, de hecho, dado que $V(-2,0) > 0$ y ese punto de equilibrio es el origen de tu problema me parece poco probable.