¿Por qué es cierto que $|AB:A|=|B:A\cap B|$ aunque no es normal en $A$ $AB$? (Segundo Teorema del isomorfismo)

Question

Acabo de leer sobre el Primer y Segundo Teoremas de Isomorfismo en el libro de Álgebra Abstracta por Dummit y Foote. Después de probar el Segundo Teorema de Isomorfismo, que dijo:

La proposición 13 no es realmente importante para mi pregunta (supongo) pero de todas maneras es la que afirma que si $H$ $K$ son dos subgrupos finitos de $G$$|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}$.

Yo no entendía por qué $|AB:A|=|B:A\cap B|$. Es obvio si $AB$ es finito porque usando el Segundo teorema de Isomorfismo tenemos $|AB:B|=|A:A\cap B|$ porque $AB/ B \cong A/ A\cap B$. Entonces $$ |AB:B|=\dfrac{|AB|}{|B|}\quad\textsf{y}\quad|A:A\cap B|=\dfrac{|A|}{|A\cap B|}\\[0.3] \implica\dfrac{|AB|}{|B}=\dfrac{|A|}{|A\cap B|}\\[0.3] \implica\dfrac{|AB|}{|A|}=\dfrac{|B|}{|A\cap B|} $$ lo que demuestra que $|AB:A|=|B:A\cap B|$, pero esto no prueba que si $A$ o $B$ es infinito y creo que hay un simple general de la prueba que bajo el asssumptions en el Teorema de 18 obtenemos $|AB:A|=|B:A\cap B|$. Podría alguien ayudarme por favor? Si la prueba es fácil (y supongo que debido a que se planteó la relación en el libro como si fuera obvio) entonces me podrían dar sugerencias?

Gracias de antemano!

Answer 1

¿Cómo hacemos generalmente demostrar el segundo teorema de isomorfismo? Componemos dos homomorphisms $$A\xrightarrow{\large\;\;\text{inclusion}\;\;}AB\xrightarrow{\large\;\;\text{quotient}\;\;}AB/B$$ se observa que el compuesto homomorphism es surjective con kernel $A\cap B\trianglelefteq A$, y, a continuación, aplicar el primer teorema de isomorfismo para grupos a la conclusión de que la $A/A\cap B\cong AB/B$.

¿Qué podemos hacer cuando nuestro coeficientes no son grupos (es decir, los subgrupos relevantes no son normales)? Aún podemos aplicar el primer teorema de isomorfismo para los conjuntos de la función conseguido mediante la composición de $$B\xrightarrow{\large\;\;\text{inclusion}\;\;}AB\xrightarrow{\large\;\;\text{send }x\,\mapsto\, xA\;\;}AB/A$$ y observar que dos elementos de la $B$ se envían en el mismo lugar en $AB/A$ si y sólo si difieren por un elemento de a $A\cap B$. Desde el mapa compuesto es también surjective, el primer teorema de isomorfismo de conjuntos nos dice que hay un bijection $$B/A\cap B\cong AB/A$$ y, por tanto,$|AB:A|=|B:A\cap B|$.

---

¿Qué es el "primer teorema de isomorfismo de conjuntos"?

Para cualquier función de conjuntos de $f:A\to B$, se define una relación de equivalencia en $A$ por $$a_1\sim a_2\;\text{ when }\;f(a_1)=f(a_2)$$ A continuación, $f$ factores a través de un surjection, un bijection, y una inyección de la siguiente manera: $$\large A\; \xrightarrow[\text{surjective}]{\;\large a\;\mapsto\;[a]\;}\;A/{\sim}\; \xrightarrow[\text{bijective}]{\;\large [a]\;\mapsto\;f(a)\;} \;f(A)\;\xrightarrow[\text{injective}]{\;\large f(a)\;\mapsto\;f(a)\;}\;B$$