Puede $x^3+3x^2+1=0$ ser resuelto mediante la high school métodos?

Question

Me encontré con el siguiente problema en una escuela de matemáticas de texto, que yo no era capaz de resolver usando la factorización factor/teorema:

Solucionar $x^3+3x^2+1=0$

Me estoy perdiendo algo aquí, o es de hecho un método más avanzado, es necesario resolver este particular cúbicos? La respuesta fue $x\doteq-3.1$, que yo sólo era capaz de confirmar el uso de CAS.

Answer 1

Es fácil mostrar que la ecuación no tiene raíces racionales, el uso de alto nivel de la escuela de matemáticas. De hecho, si $x =\frac{p}{q}$ es una raíz, se puede mostrar fácilmente que $p \mid 1$$q \mid 1$, con lo que las únicas posibles raíces racionales son $\pm 1$, y las que no funcionan. Esto demuestra que no podemos probablemente calcular la solución de una manera sencilla, hemos de aproximar.

A la aproximación, la idea más simple sería escribir la ecuación como

$$x^2(x+3)=-1$$

Como $x^2 \geq 0$ se sigue que $$x+3 <0 \,.$$ Thus, $x <-3$. Pero entonces, $$x^2 >9 \,.$$ Multiplicando esto por $x+3$, que es negativo, obtenemos

$$-1=x^2(x+3)< 9(x+3) \,.$$

Este rendimientos

$$x+3 > \frac{-1}{9}$$

Así

$$ \frac{-1}{9} < x+3 <0 \,,$$ o $$-3-\frac{1}{9} <x <-3$$

Answer 2

Usted puede ser capaz de salirse con la suya con algún "milagro" sustituciones que resolver el cúbicos (que puede ser generalizado para resolver un general cúbicos).

Comenzar con

$$x^3+3x^2+1=0 \tag{$\daga$}$$

1. Sustituto $x = y - 1$ a $(\dagger)$ obtener

   $$y^3 - 3y + 3 = 0. \tag{$\estrella de$}$$

2. Deje $y = z + \frac{1}{z}$, de modo que $(\star)$ hace $z^3+\frac{1}{z^3}+3 = 0$ o multiplicando por $z^3$,

   $$\left(z^3\right)^2 + 3\left(z^3\right) + 1 = 0. \tag{$\ast$}$$

3. Solucionar $(\ast)$ $z^3$ con la fórmula de la ecuación cuadrática,

   $$z^3 = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.$$

   Las dos soluciones reales de $(\ast)$ lo $z_1 = -\sqrt[3]{(3+\sqrt{5})/2}$$z_2 = -\sqrt[3]{(3-\sqrt{5})/2}$.

4. Desentrañar las sustituciones: $x = y - 1 = z + \frac{1}{z} - 1$, por lo que las soluciones a $(\dagger)$

   $$\begin{align*}x_1&= z_1 + 1/z_1 - 1 = -\sqrt[3]{(3+\sqrt{5})/2} - \sqrt[3]{2/(3+\sqrt{5})} - 1\\ x_2&= z_2 + 1/z_2 - 1 =-\sqrt[3]{(3-\sqrt{5})/2} - \sqrt[3]{2/(3-\sqrt{5})} - 1\end{align*}$$

De hecho resulta que $x_1 = x_2$ (otro milagro!). Así que podemos escribir la solución final en la forma exacta como

$$x = -\sqrt[3]{(3+\sqrt{5})/2} - \sqrt[3]{2/(3+\sqrt{5})} - 1 \approx -3.1$$

Answer 3

Tartaglia:

Cuando el cubo y las cosas juntos
Son igual a algún número discreto,
Encontrar otros dos números diferentes en esto.
Entonces usted va a mantener esto como un hábito
Que su producto debe ser siempre igual
Exactamente para el cubo de un tercio de las cosas.
El resto, a continuación, como regla general
De sus raíces cúbicas resta
Será igual a la cosa principal
En el segundo de estos actos,
Cuando el cubo se queda sola,
Usted podrá observar estos otros acuerdos:
En vez de dividir el número en dos partes
Así que uno de los tiempos de la otra produce claramente
El cubo de la tercera de las cosas exactamente.
Luego de estas dos partes, como un habitual de la regla,
Tendrá que tomar el cubo raíces se suman,
Y esta suma será de su pensamiento.
El tercero de estos cálculos de la nuestra
Se resuelve con el segundo lugar, si usted toma el buen cuidado,
Como en su naturaleza son casi coincidentes.
Estas cosas que he encontrado, y no con lentos pasos,
En el año de mil quinientos treinta y cuatro.
Con cimientos fuertes y resistentes
En la ciudad ceñida por el mar.

Vea aquí las matemáticas http://talkmath.wordpress.com/2010/12/31/the-del-ferro-tartaglia-cardano-solution-of-the-cubic/

Answer 4

De una sola variable de cálculo que implican algún tipo de método de Newton se enseña en algunas escuelas secundarias de los Estados Unidos.

El método de Newton puede ser utilizado para encontrar una manera arbitraria solución exacta a $x^3 + 3x^2 + 1 = 0$.

Answer 5

Puesto que usted pidió para resolver la ecuación, supongo que se necesita un método que puede ser utilizado para obtener la respuesta a alguna de precisión arbitraria. Dado que el método de Newton es generalmente no se enseña en la escuela secundaria, tratemos de tener una alternativa que no requiere nada de gradientes o incluso de las raíces cuadradas.

Observar que

$x^3+3 x^2+1=0\Leftrightarrow x^2(x+3)=-1\Leftrightarrow x=-1/x^2-3$

Ahora el problema es encontrar $x$, de modo que es igual a $-1/x^2-3$.

Uno puede ser muy rápido para saber que $x<3$ y, a continuación, enchufe de que la desigualdad de nuevo en el lado derecho y obtenga $x>-3-1/9$. A continuación, puede conectarlo de nuevo en la RHS de nuevo y $x<-2433/784\approx-3.10332$, y luego hacerlo de nuevo consigue $x>-(18373123/5919489)\approx-3.10383599$. Usted puede hacer una y otra vez para conseguir más y más los límites superior e inferior. Usted puede obtener una racional obligado a precisión arbitraria aquí.

Pero ¿y si uno es de uno de esos escuela secundaria que incluso no enseñar las desigualdades?

Así lo peor que uno puede hacer es adivinar un número arbitrario (distinto de 0, por supuesto) por $x$, puede evaluar esto y ver si en realidad $x$ igual a $-1/x^2-3$.

Las ocasiones son, usted no será que la suerte y se acaba de pasar a ser el mismo; tal vez ellos son órdenes de magnitud de distancia. Bueno, dos cosas que se supone que son iguales no son así, entonces probablemente debería estar entre los que. En otras palabras, obtener una mejor estimación tomando el promedio de estos dos números: $\tilde{x}=(x-1/x^2-3)/2$

Ahora tenemos una mejor nuevo supongo, y mantener el procedimiento puede refinar el resultado de precisión arbitraria.

De hecho, incluso mejor que el método de Newton, este tipo de procedimiento iterativo converge desde cualquier suposición de arranque (distinto de 0), y el concepto es extremadamente fácil. Por supuesto, usted tiene que llevar a cabo el trabajo de iteraciones.