¿Existe el primer orden fórmula $Z(x)$ $\langle 0, +, \le\rangle$ de la lengua sobre el campo $\mathbb{Q}$ expresa el hecho de que $x$ es entero?

Question

Esta es una continuación de mi anterior pregunta aquí y aquí.

¿Existe ningún primer orden fórmula $Z(x)$ en el idioma $\langle 0, +, \le\rangle$ que sobre el campo $\mathbb{Q}$ de los números racionales expresa el hecho de que $x$ es un número entero?

Tengo la fuerte sospecha de que no hay ninguna, pero no sé cómo lo vean. Podría alguien ayudar?

Answer 1

Tienes razón: no hay tal fórmula existe.

Supongamos que $Z(x)$ es una fórmula de tal. Es decir, para cada $q \in \mathbb{Q}$ % $ $$\mathfrak{Q} = \langle \mathbb{Q}, 0 , + , \leq \rangle \models Z[q] \Leftrightarrow q \in \mathbb{Z}. \tag{1}$

Tenga en cuenta que el % de asignación $\sigma (x) = \frac{x}{2}$es un isomorfismo de $\mathfrak{Q}$, y así cada $q \in \mathbb{Q}$ tenemos que $$\mathfrak{Q} \models Z[q] \Leftrightarrow \mathfrak{Q} \models Z[ \sigma(q) ]. \tag{2}$ $ ahora considere lo que sucede cuando $q = 1$: (2) tenemos que $$\mathfrak{Q} \models Z[1] \Leftrightarrow \mathfrak{Q} \models Z[\sigma(1) = \tfrac{1}{2}],$ $ que claramente contradice nuestra hipótesis (1).

Answer 2

Mientras @komorebi la respuesta es correcta, se acercan a esta pregunta utilizando automorfismos es un poco frágil. En particular, el automorphism método puede descartar la posibilidad de que los enteros son definibles con parámetros (que es, después de la adición de algunas constantes). Para ver por qué, observar que no hay no-trivial de automorfismos de la fijación de un número distinto de cero.

Afortunadamente, no es la clasificación de todos los conjuntos definibles en esta estructura: un subconjunto de a $\mathbb{Q}^n$ es definible (posiblemente con parámetros) en el idioma $(\mathbb{Q},+,<)$ si y sólo si es una combinación Booleana de solución a los conjuntos de desigualdades lineales. En particular, un subconjunto de a $\mathbb{Q}$ es definible (con parámetros) si y sólo si es una combinación Booleana de intervalos y puntos, por lo $\mathbb{Z}$ no es definible.

El resultado anterior es una consecuencia de la eliminación de cuantificadores para la teoría del divisible ordenó Abelian grupos. (Realmente, es una reafirmación de que el hecho de que.) Que el hecho de que, a su vez, es una persona accesible ejercicio: demostrar por inducción sobre las fórmulas que cada fórmula en el lenguaje de $(+,<)$ es equivalente (modulo de la teoría de divisible ordenó Abelian grupos) a un cuantificador fórmula libre.