Demostrando que $0\cdot x=0$ utilizando axiomas de campo

Question

Considere la siguiente definición axiomática de un campo:

Un campo es un conjunto $F$ junto con dos operaciones binarias $+$ $\cdot$ $F$ tal que $(F,+)$ es un Abelian grupo con identidad $0$ $(F\setminus\{0\},\cdot)$ es un Abelian grupo con identidad $1$, y la siguiente a la izquierda-distributiva de la ley se tiene: $$a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\quad\forall a,b,c\in F.$$

Quiero mostrar que la $0\cdot x=0$ cualquier $x\in F$ el uso de estos, y sólo estos, campo axiomas. Puedo demostrar que $x\cdot 0=0$ con izquierda-distributividad, pero la multiplicación con $0$ no es necesario conmutativa a priori [$(F\setminus\{0\},\cdot)$ es un grupo Abelian no dice nada acerca de la multiplicación con $0$].

Cualquier sugerencia se agradece.

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Para explicar mi punto, permítanme demostrar que $x\cdot 0=0$ cualquier $x\in F$: $$\begin{align*} 0+0=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ x\cdot(0+0)=&\,x\cdot0\\ \Downarrow&\,\text{(left-distributivity)}\\ (x\cdot 0)+(x\cdot 0)=&\,x\cdot 0\\ \Downarrow&\,\\ [(x\cdot 0)+(x\cdot 0)]+[-(x\cdot 0)]=&\,x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]\\ \Downarrow&\,\\ (x\cdot0)+\{(x\cdot0)+[-(x\cdot0)]\}=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ (x\cdot0)+0=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ x\cdot0=&\,0. \end{align*}$$ Mi problema es que tendría que explotar derecho-distributividad para mostrar que $0\cdot x=0$, pero a la derecha-la distributividad no sigue inmediatamente a partir de los axiomas.

Answer 1

No puedes.

Que $F=\Bbb Q$, definir además como de costumbre y $$x\cdot y = $$\begin{cases}xy&\text{if }x\ne 0\\y&\text{if }x=0\end{cases}$$ entonces

• $(F,+)$ es un Grupo abeliano como $\Bbb Q$ es realmente un campo;
• $(F\setminus\{0\},\cdot)$ es un Grupo abeliano ya $\Bbb Q$ es realmente un campo y $\cdot$ Comparison con multiplicación estándar aquí
• Distribución izquierda tiene $a\ne 0$ porque lleva a cabo en el campo $\Bbb Q$
• distribución izquierda tiene $a=0$ por verificación directa

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En otras palabras: su colección de axiomas está "mal".

Answer 2

Lo que llaman "commutativity" es "distributividad". Mientras que solamente "distributividad izquierda" se define, multiplicación en un campo es conmutativa. Una vez que han demostrado que x 0 = 0, se deduce inmediatamente el commutativity de la multiplicación que x 0 = 0.