Considere la siguiente definición axiomática de un campo:
Un campo es un conjunto $F$ junto con dos operaciones binarias $+$ $\cdot$ $F$ tal que $(F,+)$ es un Abelian grupo con identidad $0$ $(F\setminus\{0\},\cdot)$ es un Abelian grupo con identidad $1$, y la siguiente a la izquierda-distributiva de la ley se tiene: $$a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\quad\forall a,b,c\in F.$$
Quiero mostrar que la $0\cdot x=0$ cualquier $x\in F$ el uso de estos, y sólo estos, campo axiomas. Puedo demostrar que $x\cdot 0=0$ con izquierda-distributividad, pero la multiplicación con $0$ no es necesario conmutativa a priori [$(F\setminus\{0\},\cdot)$ es un grupo Abelian no dice nada acerca de la multiplicación con $0$].
Cualquier sugerencia se agradece.
Para explicar mi punto, permítanme demostrar que $x\cdot 0=0$ cualquier $x\in F$: \begin{align*} 0+0=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ x\cdot(0+0)=&\,x\cdot0\\ \Downarrow&\,\text{(left-distributivity)}\\ (x\cdot 0)+(x\cdot 0)=&\,x\cdot 0\\ \Downarrow&\,\\ [(x\cdot 0)+(x\cdot 0)]+[-(x\cdot 0)]=&\,x\cdot 0+[-(x\cdot 0)]\\ \Downarrow&\,\\ (x\cdot0)+\{(x\cdot0)+[-(x\cdot0)]\}=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ (x\cdot0)+0=&\,0\\ \Downarrow&\,\\ x\cdot0=&\,0. \end{align*} Mi problema es que tendría que explotar derecho-distributividad para mostrar que $0\cdot x=0$, pero a la derecha-la distributividad no sigue inmediatamente a partir de los axiomas.
