Expansión asintótica para la suma armónica en dos variables

Question

Estoy interesado en la determinación de una fórmula asintótica para el doble de la suma de $1/(ab)$ donde $a$ es un entero impar que oscila entre 1 y $k/\sqrt{j}$, $b$ es un entero impar que oscilan entre los $a$ y $aj$, $j$ es un número real $>1$, e $k$ tiende a infinito. En símbolos,

$$ \sum_{\substack{1 \leq \leq k/\sqrt{j} \\ un \text{ impar}}} \sum_{\substack{a \leq b \leq aj \\ b \text{ impar}}} \frac{1}{ab}. $$

Para $j=1$, el resultado de la suma simplemente corresponde a la infinita armónica de la suma de los impares plazas $1/1 + 1/9 + 1/25\ldots $, que los rendimientos de $\pi^2/8$.

Para $j>1$, he obtenido la fórmula $\tfrac{1}{4} \ln(k) \ln(j) + O(1)$. Estoy particularmente interesado en esta $O(1)$ plazo. Trazado este término vs $j$ obtenemos una función discontinua, donde el más evidente discontinuidades que se producen al $j$ es un entero impar. Por ejemplo, la configuración de $j=2$, el término constante es acerca de $0.94$. Se disminuye progresivamente (con otras discontinuidades) a aproximadamente $0.73$ $j$ aumenta acercándose $3$, pero para $j=3$ se eleva a alrededor de $1.14$. El abrupto incremento observado para $j=3$ es igual a $\pi^2/24$ (y, más en general, para cualquier entero impar $j$, el término muestra una discontinuidad con un aumento abrupto por $\pi^2/8/j$).

Es allí cualquier manera de expresar los valores de esta $O(1)$ plazo explícitamente? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que para $j>1$, se están obteniendo los valores de $b$ que son racionales múltiplos de los valores de $a$ y para el que $1\le b/a\le j$. Más específicamente, el doble de la suma de $a$ $b$ puede ser reemplazado por una suma de más en particular los números racionales $p/q$$[1,j]$. Ignorar la dependencia de la $j$ en el primer suma por ahora trabajando en una variable $K=k/\sqrt{j}$. Entonces $$ S(K,j)=\sum_{un\le K}^{\prime}\sum_{un \le b \le aj}^{\prime}\frac{1}{ab}=\sum_{p/q \in \mathcal{A}(j)}\sum_{un\le K}^{\daga}\frac{1}{a\cdot (p/q)}. $$ Las dos primeras sumas de ($\sum^{'}$) están restringidas a enteros impares. Los números racionales en $\cal{A}(j)$ son aquellos con impar numeradores y denominadores y en $[1,j]$. La suma final ($\sum^{\dagger}$) está restringido a los enteros impares que son divisibles por $q$, es decir, impares múltiplos de $q$. Escrito $a=c q$, tenemos $$ S(K,j)=\sum_{p/q\in \mathcal{A}(j)}\frac{1}{pq}\sum_{c\le K/q}^{\prime}\frac{1}{c^2}. $$ Tenga en cuenta que las discontinuidades son claramente identificados aquí: al $j$ es igual a un determinado número racional $p/q$ con impar numerador y el denominador, hay un salto de tamaño $$ \frac{1}{pq}\sum_{c\le K/q}^{\prime}\frac{1}{c^2}\sim \frac{1}{pq}\left(\frac{\pi^2}{8}-\frac{q}{K}\right)=\frac{\pi^2}{8pq} + O\left(\frac{1}{k\sqrt{pq}}\right) $$ como $k\rightarrow \infty$. Ya ha identificado los saltos de tamaño $\pi^2/(8j)$ para los enteros impares $j$; el mayor salto debe ser de al $j=5/3$, de tamaño $\pi^2/120$.