Una forma sencilla de encontrar$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n{\sqrt{n^2-k^2}}}$

Question

Estaba leyendo un examen de papel que se utiliza para identificar a los superdotados, los estudiantes de bachillerato, y me encontré con el siguiente problema: $$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n{\sqrt{n^2-k^2}}}$$ Utilizando el estándar de cálculo de las técnicas, esta suma puede ser fácilmente calculada por el tratamiento de la suma como una suma de riemann, y el cálculo de la correspondiente integral. De hecho, si denotamos $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, obtenemos: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n{\sqrt{n^2-k^2}}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{f\left(\frac{k}{n}\right)}} = \int_0^1{f(x)dx}=\frac{\pi}{4} $$ Donde la integral se calcula tomando nota de que el área bajo la gráfica de $f$, entre el$0$$1$, es de un cuarto de la unidad de disco.

Sin embargo, en mi país, las sumas de riemann no se enseñan en las escuelas, por lo que el uso de esta técnica no es una opción. Hay un método más sencillo para calcular este límite?

Answer 1

Puedes evitar hablar de integrales si puedes hablar de áreas. Entonces la suma es una suma de las áreas de rectángulos pequeños que se aproximan a un cuarto del disco unitario. Ese es el salto real. Tal vez esto es suficiente.

Answer 2

Usted puede escribir

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\sqrt{1-\frac{ k^2}{n^2 } }$$

Esto es sólo el "promedio" de la altura de un semicírculo. El diámetro es de 2 y el área es $\frac{\pi }{2 } $.

A continuación, el uso de $A=b \times h$ el promedio debe ser $ \frac{\pi}{4} $.

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Las herramientas para realmente formalizar estos no vienen hasta el 2º o 3er año de la universidad. Dependiendo de donde usted estudio.

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Uh, se puede estimar el error entre el semicírculo y el rectángulo aproximación utilizando muy pequeños triángulos. Va a ser bastante pequeña y mostrar su área total tiende a 0.

La base del triángulo es $\frac{1}{n} $. La altura es de

$$ \left|\sqrt{1-\frac{ k^2}{n^2 }}- \sqrt{1-\frac{ (k+1)^2}{n^2 }}\right| < \frac{2}{\sqrt{n}} $$

Así que el error total es menor que $\frac{1}{\sqrt{n}}$