¿Es todo grupo el grupo de automorfismo de un grupo?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo. ¿Existe siempre un grupo $H$ , de tal manera que $\operatorname{Aut}(H)=G$ es decir, que $G$ es el grupo de automorfismo de $H$ ?

EDITAR: Se ha señalado que la respuesta a la pregunta anterior es no . Pero me alegraría mucho más si alguien pudiera dar un ejemplo de ese grupo $G$ que no surge como un grupo de automorfismo junto con una prueba comparativamente fácil de este hecho.

Answer 1

Teorema. Los siguientes grupos cíclicos no pueden ser el grupo de automorfismo de ningún grupo:

1. El grupo cíclico infinito $C_{\infty}$ (también conocido como $\mathbb{Z}$ ), y
2. Grupos cíclicos $C_{n}$ de la orden impar (también conocida como $\mathbb{Z}_n$ o $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ).

La prueba es relativamente sencilla, con una sutileza al final, y consta de dos lemmata. Les dejo que unan los lemmata y obtengan el resultado. ( Una pista. ¿a qué son isomorfos los automorfismos internos?)

Lema 1: Si $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliana.

Prueba: Esta es una pregunta estándar de grado, así que dejaré que descubras la prueba por ti mismo.

Lema 2: Si $G\not\cong C_2$ es abeliano entonces $\operatorname{Aut}(G)$ tiene un elemento de orden dos.

(Aquí, $C_2$ es el grupo cíclico de orden dos. Nótese que este grupo tiene grupo de automorfismo trivial).

Prueba: El mapa de negación $n: a\mapsto a^{-1}$ es no trivial de orden dos a menos que $G$ se compone de elementos de orden dos. Si $G$ consiste sólo en elementos de orden dos entonces, aplicando el Axioma de Elección, $G$ es la suma directa de grupos cíclicos de orden dos, $$G\cong C_2\times C_2\times\ldots$$ Ver esta pregunta por qué. Finalmente, porque $G\not\cong C_2$ hay al menos dos copias de $C_2$ y, por tanto, podemos conmutarlas (y "conmutar" tiene orden dos).

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La sutileza que mencioné al principio es el uso de Choice en la prueba del Lemma 2. Si no asumimos Choice que es consistente que exista un grupo $G$ de orden superior a dos tal que $\operatorname{Aut(G)}$ es trivial. Esto fue (primero) demostrado por Asaf Karagila en una respuesta a esta pregunta de MSE .

Answer 2

Evidentemente esto es falso incluso si $H$ se requiere que sea finito.

Creo que el argumento sería muy difícil si $G$ se permitió que fuera infinito, especialmente si $G$ no fue generado finitamente.

EDITAR: Aquí es un resultado genial algo relacionado.