Sea $$ F \ a E \ xrightarrow {\ pi} B $$ un conjunto de fibras sobre una base compacta y conectada$B$.
¿Es cierto que el espacio total$E$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, si la fibra$F$ y la base$B$ tienen el tipo de homotopía de un complejo CW?
No creo que esto sea verdad para Serre fibraciones$\pi$, pero tampoco conozco una prueba.
Aquí es un boceto de un argumento. Nunca he sido muy buena con CW complejos, por lo que el tratamiento con precaución!
En primer lugar, de hecho podemos suponer que $B$ es un CW complejo. (Pull-back por un homotopy equivalencia en la base). Ahora nuestra fibra paquete será trivial cuando se retiró de nuevo a cada celda de CW (desde un celular es contracible), y así creo que debería dejar que nos escribe el total de espacio como pegado de las piezas de la forma
$$\text{cell} \times F.$$
Ahora reemplazando $F$ por un CW complejo, y el uso que el producto de CW complejos es un CW complejo, que debe estar en buena forma.
No sé la respuesta, en general, pero en el caso de que nosotros (a) restringir de forma compacta generado débil espacios de Hausdorff (no gran cosa), y (b) restringir al caso en que F es compacto, creo que tengo una respuesta.
Es decir, por un resultado de Mayo hay un espacio, $BG$, con el homotopy tipo de un CW-complejo (desde $F$ tiene esta propiedad), de tal manera que fibrations $B$ con fibra de tener la homotopy tipo de $F$ están clasificados hasta equivalencia por homotopy-clases de mapas de $B \rightarrow BG$.
Más específicamente, es un universal fibration $EG \rightarrow BG$ con fibra de $F$, y tirando hacia atrás de este fibration por el mapa $B \rightarrow BG$ da la fibration que se inició con (arriba a la equivalencia). Desde $EG$ también tiene la homotopy tipo de un CW-complejo, entonces el espacio total.
Así que si un contraejemplo existe, $F$ tendrá que ser no-compacto.
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