Si dos complejos CW tienen grupos de homotopía isomórficos, ¿son homotópicos equivalentes?

Question

Denotamos con$\pi_{i}$ grupo i-homotopy. Si tengo$X,Y$ CW-complex y$\pi_{i}(X)=\pi_{i}(Y)$ para todos$i$. ¿Puedo decir que$X$ y$Y$ son equivalentes homotópicos? ¿Qué tipo de equivalencia es?

Answer 1

Usted no puede decir que $X$ $Y$ son homotopy equivalente si $\pi_i(X) = \pi_i(Y)$ todos los $i$. Esto es debido a que la definición de homotopy equivalencia requiere que existe algún mapa continuo $f: X \longrightarrow Y$ que es invertible hasta homotopy. De ahí el isomorphisms $\pi_i(X) \cong \pi_i(Y)$ necesita ser inducida por un homotopy equivalencia $f$.

El estándar contraejemplo es$X = S^2 \times \Bbb R P^3$$Y = S^3 \times \Bbb R P^2$. Estos grupos han isomorfo homotopy grupos (esto se deduce del hecho de que ambos tienen un grupo fundamental de la $\Bbb Z/2$ y la universalización de la cobertura $S^2 \times S^3$), pero $H_5(X) \cong \Bbb Z$ $H_5(Y) \cong 0$ $X$ es compacta y orientable, sino $Y$ es compacto y nonorientable. Homotopy equivalente espacios isomorfos homología de grupos, así que podemos ver que $X$ $Y$ en este ejemplo, no podría ser homotopy equivalente.

Answer 2

Si hay un mapa continuo $f:X\to Y$, lo que induce un isomorfismo $\pi_i(X)\stackrel{\sim}{\to} \pi_i(Y)$ por cada $i\geq 0$, este mapa $f$ no se necesita ser un homotopy de equivalencia para arbitrario de espacios topológicos $X$$Y$, pero es por definición lo que se llama una débil homotopy de equivalencia. Sin embargo, es un teorema de Whitehead que si $X$ $Y$ están conectados y homotopy-equivalente a CW complejos, entonces cualquier débiles homotopy equivalencia entre ellos es de hecho un verdadero homotopy de equivalencia.

Para responder a su pregunta, como está escrito, incluso si $\pi_i(X)\cong\pi_i(Y)$ por cada $i$, no hay necesidad de ser un mapa de $f$, lo que induce a estos isomorphisms, y no necesitan ser homotopy-equivalente. Hay un ejemplo en el artículo de Wikipedia sobre el teorema de Whitehead, vinculado anteriormente.