Utilizando la prueba de relación para la serie $\sum \frac1{3^n-2^n}$ no puedo calcular el límite

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n-2^n}$$

Sé que esta serie es convergente y utilizando la prueba de razón. Pero no puedo concluir la prueba.

$$\begin{align}\lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{1}{3^{n+1}-2^{n+1}}}{ \frac{1}{3^n-2^n}}\right| &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{3^n-2^n}{ 3^{n+1} - 2^{n+1}} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{1-(\frac{2}{3})^n}{ 3(1-2^{n+1}/3^{n+1})}\right| \end{align}$$

Mediante cálculo, el límite es 0. Pero no puedo calcular este límite por mí mismo sin utilizar el cálculo. ¿alguna ayuda?

Answer 1

$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{1-(\frac{2}{3})^n}{3(1-(\frac{2}{3})^{n+1})}\right| = \frac{1}{3}$ porque $\lim_{ n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n=0$

Answer 2

Compare el término general de su serie con $ \frac1{3^n} $ : $$ \frac{\frac{1}{3^n-2^n}}{\frac1{3^n}}=\frac{3^n}{3^n-2^n}\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}1 $$ así, siendo $\sum_n\frac1{3^n}$ convergente, también lo es la serie dada.

Answer 3

Casi lo tienes resuelto

$\lim_{n\to\infty} {(\frac{2}{3})}^n = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} .... = 0.\dot{6} \times 0.\dot{6} \times 0.\dot{6} ... = 0$

por lo que su solución será $\frac{1}{3}$

Answer 4

También comparación a la antigua usanza: $$ n>1\implies 3^n-2^n=2^n((3/2)^n-1)\ge2^n\implies \frac1{3^n-2^n}\le\frac1{2^n}. $$