¿Esta curva tiende a una onda cuadrada?

Question

He puesto algo de código de Mathematica aquí: http://pastebin.com/cY6r7skS

que utiliza este algoritmo:

$$y1 = Sin[x];$$ $$y2 = Sin[y1];$$ $$y3 = Sin[y1 + y2];$$ $$y4 = Sin[y1 + y2 + y3];$$ $$y5 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4];$$ $$y6 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5];$$ $$y7 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6];$$ $$y8 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7];$$ $$y9 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8];$$ $$y10 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9];$$ $$y11 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 + y10];$$ $$y12 = Sin[y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 + y10 + y11];$$ $$y = y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 + y10 + y11 + y12;$$

donde $y$ es la curva púrpura en esta imagen:

Las curvas azules son $y1$ , $y2$ , $y3$ , $y4$ , $y5$ , $y6$ ... y así sucesivamente.

¿La curva púrpura $y$ ¿tienden a una onda cuadrada?

Esta pregunta se basa en la respuesta a esta pregunta anterior .

Editar: Las sumas parciales:

$$y1$$ $$y1 + y2$$ $$y1 + y2 + y3$$ $$y1 + y2 + y3 + y4$$ $$y1 + y2 + y3 + y4 + y5$$ $$y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6$$ ... y así sucesivamente, se ven así cuando se trazan:

Para ver más imágenes, consulte: enlace a la pregunta en dsp stackexchange

Answer 1

El problema es equivalente al análisis de la convergencia de la ecuación recursiva

$$z_{n+1}=z_n + \sin(z_n)$$

Es fácil ver que los puntos fijos se $z = k \, \pi$, y que estos son atractores sólo por extraño $k$. Además, la convergencia está garantizada en cada intervalo de tiempo (por ejemplo, si $z_0\in (0,2\pi)$$z_{\infty}=\pi$).

A continuación, la secuencia original $x=\sin(z)$ converge pointwise a cero.

Como para sus sumas parciales: el mismo análisis muestra que están recluidos en el intervalo de $[0,1]$ en el dominio de los intervalos de $[0,2 \pi]$, $[4\pi,6 \pi]$,$[8\pi,10 \pi]$ ... , y $[-1,0]$ en otros lugares. Eso es justamente lo que le da la tenue visual ilusión de una "onda cuadrada", si uno se superpone a todas las sumas parciales. Pero no converge a una onda cuadrada, y cada suma parcial no se asemeja a una onda cuadrada.