Mostrando Identidad Trigonométrica

Question

Probar que

Intento: \begin{align*} L.H.S & = \cos^2\theta\sin^4\theta\\ & = \cos^2\theta\sin^2\theta\sin^2\theta\\ & = \frac{1+\cos2\theta}{2}.\frac{1-\cos2\theta}{2}.\frac{1-\cos2\theta}{2}\\ & = \frac{1}{8} (1-\cos^22\theta)(1-\cos2\theta) \end {align *}

Ahora, ¿qué debo hacer?

Answer 1

Utilice la linealización y las fórmulas de duplicación: \begin{align*} \cos^2\theta\sin^4\theta & = \cos^2\theta\sin^2\theta\sin^2\theta = \frac14 \sin^2 2\theta\sin^2\theta\\ &=\frac14\frac{1-\cos4\theta}{2}\frac{1-\cos2\theta}{2}= \frac{1}{32} (2\cos4\theta\cos2\theta-2\cos4\theta-2\cos2\theta+2)\\ &=\frac1{32}(\cos 6\theta+\cos2\theta-2\cos4\theta-2\cos2\theta+2)\\ &=\frac1{32}(\cos 6\theta-2\cos4\theta- \cos2\theta+2)\ \end {align *}

Si se le permite usar números complejos, esto es mucho más fácil: configure$u=\mathrm e^{\mathrm i\theta}$. Entonces tenemos, por las fórmulas de Euler :$$\bar u=\mathrm e^{-\mathrm i\theta},\quad \cos\theta=\frac{u+\bar u}2,\quad \sin\theta =\frac{u-\bar u}{2\mathrm i},$ $ whence (nota$u\bar u=1$) \begin{align*} \cos^2\theta\sin^4\theta & = \frac{(u+\bar u)^2}4 \frac{(u-\bar u)^4}{16}=\frac1{64}(u^2-\bar u^2)^2(u-\bar u)^2\\ &=\frac1{64}(u^4-2+\bar u^4)(u^2-2+\bar u^2)\\ &=\frac1{64}(u^6-2u^4+u^2-2u^2+4-2\bar u^2+\bar u^2-2\bar u^4+\bar u^6)\\ &=\frac1{64}(u^6+\bar u^6-2(u^4+\bar u^4) -(u^2+\bar u^2)+4)\\ &=\frac1{32}(\cos6\theta-2\cos4\theta-\cos2\theta+2). \end {align *}

Answer 2

CONSEJO: use ese $ \ cos (6 \ theta) = 32 \, \ left (\ cos \ left (\ theta \ derecha) \ right) ^ {6} -48 \ Derecha) ^ {4} 18 \, \ izquierda (\ cos \ izquierda (\ theta \ derecha) \ derecha) ^ {2} -1 $$$$\cos(2\theta)=2\, \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}-1$ $ $$ \ cos ( (\ Theta) = 8 \, \ izquierda (\ cos \ izquierda (\ theta \ derecha) \ right) ^ {4} -8 \, \ 2} 1 $$

Answer 3

Con $z=e^{i\theta}$,

ps

Por conveniencia, multiplique por$$\left(\frac{z+z^{-1}}2\right)^2\left(\frac{z-z^{-1}}{2i}\right)^4=\frac1{32}\left(\frac{z^6+z^{-6}-z^2-z^{-2}+4-2z^4-2z^{-4}}2\right).$, configure$64z^6$ y vuelva a escribir

ps

Por la expansión directa de la LHS se obtiene la igualdad.

Answer 4

$$\cos^2\theta\sin^4\theta=\frac{1}{32}(\cos6\theta-\cos2\theta+2-2\cos4\theta)$$

El uso de $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ poner todo en términos de coseno:

$$\begin{align} \cos^2\theta (1 - \cos^2 \theta )^2 &= \frac{1}{32}(\cos6\theta-\cos2\theta+2-2\cos4\theta) \\ \cos^2\theta (1 - 2\cos^2\theta + \cos^4 \theta ) &= \frac{1}{32}(\cos6\theta-\cos2\theta+2-2\cos4\theta) \\ \cos^2\theta - 2\cos^4\theta + \cos^6 \theta &= \frac{1}{32}(\cos6\theta-\cos2\theta+2-2\cos4\theta) \end{align}$$

El uso de $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ :

$$ \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^4 + \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^6 = \frac{1}{32}\left( \left(\frac{e^{6i\theta} + e^{-6i\theta}}{2}\right) - \left(\frac{e^{2i\theta} + e^{-2i\theta}}{2}\right) + 2 - 2\left(\frac{e^{4i\theta} + e^{-4i\theta}}{2}\right) \right)$$

Multiplicar:

$$ \begin{align} \frac{1}{4} & \left( e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta} \right) \\ - \frac{1}{8} & \left( e^{4i\theta} + 4 e^{2i\theta} + 6 + 4 e^{-2i \theta} + e^{-4i\theta} \right) \\ + \frac{1}{64} & \left( e^{6i\theta} + 6 e^{4i\theta} + 15 e^{2i\theta} + 20 + 15 e^{-2i\theta} + 6 e^{-4i\theta} + e^{6i\theta} \right) \\ = \frac{1}{32} & \left( \frac{ \left( e^{6i\theta} + e^{-6i\theta} \right) - \left( e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} \right) + 4 - \left(2e^{4i\theta} + 2e^{-4i\theta}\right) }{2} \right) \end{align}$$

Combina los términos semejantes:

$$\begin{array} {c} 16 e^{2i\theta} + 32 + 16 e^{-2i\theta} \\ -~ 8 e^{4i\theta} - 32 e^{2i\theta} - 48 - 32 e^{-2i \theta} - 8 e^{-4i\theta} \\ +~ e^{6i\theta} + 6 e^{4i\theta} + 15 e^{2i\theta} + 20 + 15 e^{-2i\theta} + 6 e^{-4i\theta} + e^{6i\theta} \\ =~ e^{6i\theta} - 2e^{4i\theta} - e^{2i\theta} + 4 - e^{-2i\theta} - 2e^{-4i\theta} + e^{-6i\theta} \end{array}$$

Así

$$\begin{array} {c} e^{6i\theta} + 6 e^{4i\theta} + 15 e^{2i\theta} + 20 + 15 e^{-2i\theta} + 6 e^{-4i\theta} + e^{6i\theta} \\ = \\ e^{6i\theta} + 6 e^{4i\theta} + 15 e^{2i\theta} + 20 + 15 e^{-2i\theta} + 6 e^{-4i\theta} + e^{6i\theta} \end{array}$$