Una Función Continua No Diferenciable

Question

El libro Understanding Analysis de Stephen Abbott afirma que

$$ (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n} h (2 ^ nx), $$

Donde$h(x)=\left|x\right|$,$h:\left[-1,1\right]\to\mathbb{R}$, y$h(x+2)=h(x)$, es continua en todo$\mathbb{R}$ pero no puede ser diferenciable en ningún punto.

Sin embargo, si no me equivoco, ¿se puede cancelar el$2^n$ en$g$? Traté de trazar esto y no pude obtener una función que no fuera diferenciable.

Answer 1

La trama se parece a esto. Es difícil decir por un look casual que este es diferenciable.

Para una mejor visión de lo que está pasando, he aquí una animación que hace un zoom en el gráfico. Se puede ver que el panorama es similar en los diferentes escalas de longitud. Una curva diferenciable, por otro lado, se parece más a una línea recta como se ampliará en.

EDIT: he trazado este en madera de Arce. No tengo el código, pero podría haber sido algo como esto.

h:= x -> abs(x - 2*round(x/2)):
g:= unapply(add(1/2^n*h(2^n*x), n=0..1000),x):
x0:= 0.23456: y0:= evalf(g(x0)): r:= 1.13:
for i from 0 to 99 do
  frame[i]:= plot(r^i*(g(x/r^i + x0) - y0), x=-1..1, axes=none, 
      title = sprintf("Zoom factor %7.1f",r^i))
od:
plots[display]([seq(frame[i],i=0..99)],insequence=true);

Answer 2

No, el $2^n$s no puede ser cancelada, como William Macrae y sos440 han señalado.

$h$ es un zig zag de la función. $h(2^nx)$ es como $h$, pero con el zig zag aplastado hacia la $y$-eje, haciendo subir y bajar más rápido, pero a la misma altura. A continuación, $\dfrac1{2^n} h(2^nx)$ es como $h(2^nx)$, pero con el zig zag aplastados hacia la $x$-eje, haciéndolos mucho más corto.

El $1/2^n$ frente garantiza que la serie converge uniformemente (y, por tanto, que el resultado de la función es continua), debido a que $h$ está acotada. La combinación de $2^n$s se asegura de que cada término tiene en zig zag de la pendiente $\pm1$, mientras que el número de zig zag por unidad de intervalo de dobles de un término al siguiente.

Answer 3

El$2^n$ s no se puede cancelar porque uno está dentro de la función$h$ (que no es affine). Esta es la misma razón que$2 \sin(\frac12 x) \neq \sin(x)$ (para arbitrario$x$). La función que se está describiendo es cualitativamente la suma de más y más funciones de grano fino 'zig-zag'; Es probable que usted no está planeando muy bien, así que trate de trazar sólo un término primero.