Operadores de Dirac en$S^1$

Question

Estoy tratando de entender la Dirac operadores asociados a las 2 spinor bultos en $S^1.$ me han sido muy confundido acerca de por qué un paquete tiene trivial armónico spinors y el otro no.(Armónica spinors son soluciones de $s$ a de la ecuación de $Ds = 0$ donde $D$ es el operador de Dirac y $s$ es una sección.)

Aquí está mi argumento (que debe estar mal en algún lugar). Tenemos 2 spin estructuras dadas por el conectado 2 veces la cobertura y desconectado de 2 veces cubriendo. Desde la tangente bundle $TS^1$ es trivial, podemos elegir el trivial conexión es dado por $f \rightarrow df.$ Cuando se la considera como una conexión en el principal paquete de marcos (también isomorfo a $S^1$), es decir, como una Mentira álgebra valores de un formulario en $S^1,$ debe ser el formulario cero.

(Como una rápida lado, la Mentira álgebra de $SO(1)$ es sólo el $0$ Mentira álgebra, así que parece que sólo hay una conexión en la tangente paquete de $S^1$ ya que sólo podía tener el $0$-forma como la forma de conexión en el marco del paquete. Pero esto no es cierto, se puede añadir una 1-forma a cualquier conexión y obtener otra conexión. ¿Cómo puede ser esto?)

(EDIT: Respuesta proporcionada por Eric: porque tenemos implícitamente reducción de la estructura de grupo en el marco de un lote a $SO(1),$ $so(1)$ valores de un formulario corresponde a una conexión compatible con la métrica determinada, y sólo hay uno de estos ya que la torsión de cualquier conexión en $S^1$ es cero.)

Ok, así que ahora se le da por rotación de la estructura, la conexión debe levantar a la $0$ conexión. Además, en el complejo de la línea de paquete sobre el círculo es trivial, por lo que ambos casos tienen exactamente el mismo aspecto, y el operador de Dirac parece ser $f \rightarrow i\frac{df}{dx}.$

Sin embargo, me han dicho que en el caso de la conexión de doble cubierta que debe tener una condición adicional en nuestra $f,$ es decir que se debe satisfacer $f(-x) = -f(x).$ Donde he ido mal?

(2ª EDICIÓN) creo que sé donde está mi confusión se deriva de. Dado un giro estructura $P$ en un colector $M^n$ podemos identificar las secciones de la spinor paquete con suave mapas de $f: P \rightarrow \mathbf{C}^n$ tal que $f(pg) = g \cdot f(p)$ como sigue. Tomar cualquier discontinuo sección $s: M \rightarrow P.$ Esto da una sección de $t:M \rightarrow P \times_{Spin(n)} \mathbf{C}^n$ de la spinor paquete por la fórmula $t(m) = [s(m), f \circ s(m)],$ y por la compatibilidad de la condición de $f$ esto es independiente de la elección de la sección $s.$

Es a través de esta identificación que entiendo cómo secciones de la spinor paquete para la conectó doble de la cubierta deben ser las funciones de $f: S^1 \rightarrow \mathbf{C}$ tal que $f(-x) = f(x).$ Y, por suerte, en este caso el Giro de la estructura en $S^1$ es en sí mismo, como un espacio,$S^1,$, por lo que la descripción de la Dirac operador se traduce fácilmente a través de esta identificación. Pero en el caso de $S^2,$ por ejemplo, las secciones pueden ser identificados con los mapas de$S^3$$\mathbf{C}^2$, pero el local descripción de la Dirac operador veo en los libros (como Lawson/Michelson Giro de la Geometría) me dice cómo diferenciar los mapas de $U \subset S^2 \rightarrow \mathbf{C}^2$ en banalizar nbhd $U.$ ¿Cómo puedo traducir la descripción local de la Dirac operador por lo que me dice cómo diferenciar el mapa de $S^3 \rightarrow \mathbf{C}^2$?

Answer 1

Yo no veo el problema, ya que todo lo que dijo es básicamente correcto y no hay ninguna contradicción real tal y como yo lo veo. Aún así, me gustaría adivinar lo que podría tropezar.

Es cierto que la Dirac operadores son "el mismo" en cierto sentido, ya que ambos pueden ser escritos como $i d/dt$. Sin embargo, no son, como actúan en diferentes paquetes. Al escribir el operador de esta manera, uno hace varias identificaciones, como explico a continuación. Tienes razón con su declaración de que de tanto girar las estructuras, la spinor espacio isomorfo a otro paquete. Sin embargo, la isomorphisms diferentes.

Vamos a escribir $S^1 = \mathrm{R}/\mathrm{Z}$. Para el desconectado de la cubierta de giro de la estructura, los asociados spinor espacio, a continuación, $$\Sigma_1 = S^1 \times \mathbb{C},$$ un trivial paquete. Uno puede escribir como este $$\Sigma_1 = \mathbb{R} \times \mathbb{C} / \sim$$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia $$(t, z) \sim (t^\prime, z^\prime) \Longleftrightarrow t - t^\prime \in \mathbb{Z} ~~ \text{and} ~~ z = z^\prime.$$ Para el conectado de la cubierta de giro de la estructura, la Spinor espacio es $$\Sigma_2 = \mathbb{R} \times \mathbb{C} / \sim$$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia $$(t, z) \sim (t^\prime, z^\prime) \Longleftrightarrow t-t^\prime \in \mathbb{Z} ~~\text{and}~~ z = e^{i \pi (t-t^\prime)} z^\prime$$ Este paquete es trivializable pero no trivial en sí mismo. Ahora el operador $D = i d/dt$ es usualmente definida en el espacio de $\mathbb{R} \times \mathbb{C}$, y, por supuesto, desciende también a los operadores de $D_1$ $D_2$ en el factor de espacios de $\Sigma_1$$\Sigma_2$. Sin embargo, $D_1$ $D_2$ son operadores diferentes, tienen diferentes propiedades; por ejemplo, como usted ha mencionado, el núcleo de $D_2$ es trivial, mientras que el núcleo de $D_1$ no lo es.

\Edit: Como cualquier diferencial de operador, el operador de Dirac es un objeto local. De hecho, está dada por $$\sum_{j=1}^n e_j \cdot \nabla_{e_j}$$ para una base ortonormales $e_1, \dots e_j$ donde $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión en Spinors. Ahora, en el caso de $S^1$, el colector es plana, por lo que la de Levi-Civita de conexión coincide con $d$. El spinor paquete es isomorfo a $\mathbb{C}$, mediante la identificación de los vectores $e_1$ $i$ (tenga en cuenta que sólo hay una orientación positiva locales ONB $e_1$ $S^1$ - que por cierto está aún definido globalmente).

Por ello, en general, de Dirac operadores siempre tienen que coincidir localmente, en algún sentido. Y también, esta es la razón por la que el operador de Dirac en $S^1$ a nivel local es dado por $i d/dt$ en cualquier caso.