$\sqrt{2}$ No puede representar un número racional

Question

No estoy pidiendo una prueba de que me demuestra que $\sqrt{2}$ no puede representar un número racional, porque ya he visto uno por la contradicción, que era bastante simple, pero tengo problemas en la comprensión de la siguiente prueba:

Por el Teorema de Ceros Racionales, la única números racionales que podrían ser las soluciones de $x^2 - 2 = 0$$\pm1, \pm2$. [Aquí n = 2, $a_2 = 1$, $a_1 = 1$, $a_0 = -2$. Así soluciones racionales debe tener la forma de $\frac{p}{q}$ donde $p$ divide $a_0 = -2$, e $q$ divide $a_2 = 1$.] Uno puede sustituir cada uno de los cuatro números de $\pm1, \pm2$ en la ecuación de $x^2 - 2 = 0$ a eliminar rápidamente como las posibles soluciones de la ecuación. Desde $\sqrt{2}$ representa una de las soluciones para $x^2 - 2 = 0$, no puede representar un número racional.

Tengo un par de preguntas:

1. ¿De dónde viene esta ecuación $x^2 - 2 = 0$?

2. He leído el Teorema de Ceros Racionales, pero no entiendo completamente por qué $\pm1, \pm2$ son las únicas soluciones.

3. Queremos mostrar que $\sqrt{2}$ no puede representar un número racional, que la prueba termina diciendo: "Desde $\sqrt{2}$ representa una de las soluciones para $x^2 - 2 = 0$, no puede representar un número racional.", que sinceramente no estoy viendo bien el punto. Ok, $\sqrt{2}$ es una solución, pero que no puede representar un número racional a partir de esta prueba, este parece no conectado a todos.

Estoy de saber que me estoy perdiendo algo que ustedes entienden sobre la marcha, pero por supuesto, yo no estoy :D

Answer 1

SUGERENCIA: $\alpha=\pm\sqrt{2}$ si y sólo si $\alpha$ es una solución de $x^2-2=0$. Los Ceros Racionales Teorema dice lo siguiente:

Si $p/q$ (donde $p$ $q$ son relativamente primos enteros) es una raíz del polinomio $a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ (donde cada una de las $a_i$ es un número entero), a continuación, $p$ debe ser un divisor de a $a_0$ $q$ debe ser un divisor de a $a_n$

Si se aplica este resultado el polinomio $x^2-2=0$, se obtiene que cualquier racional de la raíz de la misma debe ser de la forma $p/q$ donde $p$ es un divisor de a $-2$ $q$ es un divisor de a$1$, ¿cuáles son las posibilidades para los racionales raíces? se puede encontrar un racional raíz de este polinomio?

Answer 2

A continuación reescribir la citada prueba para aclarar los puntos que usted pregunte acerca de..

$\color{brown}{\rm Suppose}$ $\,\sqrt 2\,$ es racional, es decir $\, \sqrt 2 = p/q\,$ para algunos enteros $\,p,q\neq 0.\,$ Por la cancelación de los factores comunes podemos asumir wlog que $\,p,q\,$$\color{#90f}{\rm coprime}$. Desde $\,x=\sqrt 2\,$ $\Rightarrow$ $\,x^2 = 2,\,$ podemos deducir que $\,\sqrt 2 = \color{#0a0}p/\color{#c00}q\,$ $\rm\color{#90f}{reduced}$ racional raíz de $\,\color{#c00}1\cdot x^2 - \color{#0a0}2.\,$ por lo Tanto, al aplicar la Raíz Racional de la Prueba de $ $ (o Teorema), $ $ podemos deducir que $\ \color{#c00}{q\mid 1}\,$ $\color{#0a0}{p\mid 2}.\,$ la Combinación de todos los factores posibles de $\,p\,$ $\,q\,$ implica que la raíz $\, x = p/q\,$ es $\,\pm1\, $ o $\,\pm 2,\,$ una contradicción, puesto que ninguno de los cuadrados de a $2.\,$ Esta contradicción prueba falsa nuestros inicial $\color{brown}{\rm hypothesis}$ que $\,\sqrt 2\,$ es racional.

Comentario $\ $ Generalmente, si $\,f(x)\,$ es un valor distinto de cero polinomio con coeficientes enteros cuyo coeficiente inicial $\color{#c00}{= 1},\,$, entonces la Raíz Racional de la Prueba implica que la única posibilidad racional de las raíces se $\rm\color{#c00}{integers}\,$ (y tal enteros debe dividir su término constante $\,\color{#c0a0}{f(0)}).\,$ Esta propiedad (integralmente cerrado) juega un papel clave en la generalización de la teoría de la divisibilidad a otros dominios.

Answer 3

1) $$x=\sqrt{2}\implies x^2=2\iff x^2-2=0$$

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2) Según Racional de la Raíz Teorema, un grado $n$ polinomio con coeficientes enteros, yo.e, para un polinomio de la forma siguiente:

$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0=\sum_{i=0}^n a_ix^i$$

donde $\{a_i\}_{i=0}^{i=n}$ es una secuencia arbitraria de constantes enteras, si tiene soluciones racionales de la forma $x=\dfrac{p}{q}$ (donde $\gcd(p,q)=1$), entonces debemos tener $p|a_0$$q|a_n$.

$$x^2-2=0\implies p=1,2~;~q=1$$

Esto es simplemente por factorización. Ahora, incluso los enteros negativos, $p,q$ trabajo, por lo que el total conjunto solución de las posibles raíces racionales (no garantizado) está dada por,

$$x=\pm \dfrac{1,2}{1}=\pm 1,\pm 2$$

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3) Esto simplemente sigue por las declaraciones de (1) y (2) y se deja como ejercicio para el OP.

Sutil sugerencia:

$$\sqrt{2}\neq \pm 1\neq \pm 2~\textrm{but }\sqrt{2}\textrm{ is a solution to the equation in (1)}$$

Answer 4

Esta es una consecuencia del Lemma de Gauss sobre el contenido de un polinomio con coeficientes enteros. Aquí significa que si un polinomio monico con coeficiente entero factoriza sobre los racionales entonces factoriza sobre enteros. Así que cualquier factorización de$(x^2-2)$ será una factorización sobre enteros: ahora vea cuáles son las posibilidades para el término constante