Relación entre $\operatorname{Proj} \, k[x_0,\cdots,x_n]$ y $\mathbb{P}^n$

Question

En "Algebraic Geometry" de Hartshorne, p. 77, ejemplo 2.5.1, se menciona que si " $k$ es un campo algebraicamente cerrado, entonces el subespacio de puntos cerrados de $\operatorname{Proj} \, k[x_0,\cdots,x_n]$ es naturalmente homeomorfa a la proyectiva $n$ -espacio $\mathbb{P}^n$ . Se refiere a Ex. 2.14d, sin embargo no veo la conexión. ¿Alguna idea?

Gracias.

P.D. El ex. 2.14(d) me parece un poco oscuro en este punto, por eso no lo reproduzco. Cualquier argumento relacionado con $\operatorname{Proj} \, k[x_0,\cdots,x_n]$ y $\mathbb{P}^n$ es muy bienvenida.

Answer 1

Ejercicio $2.14~ d)$ afirma que para cualquier variedad proyectiva con anillo de coordenadas homogéneo $S$ , $$t(V) \simeq \operatorname{Proj}S$$ Que incluyen $\mathbb{P}^{n}$ , lo que significa $V$ podría ser $\mathbb{P}^{n}$ .

Ahora, por la proposición 2.6, $V$ y $t(V)$ tienen puntos cerrados homeomórficos.