Desigualdad de números positivos

Question

Vamos$ x_1, x_2, \ldots, x_n \; \in \; \mathbb{R}_{+} $ para que$ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n $

También sabemos que:$$ \frac{1}{2^{x_1}} + \frac{1}{2^{x_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{x_n}} = 1 $ $

Demuestre la siguiente desigualdad:$$ \frac{1}{3^{x_1}} + \frac{2}{3^{x_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{x_n}} \geq \frac{n + 1}{2n} $ $

He intentado demostrarlo varias veces pero no lo he conseguido. Realmente apreciaría si usted puede ayudarme.

Answer 1

Siguiendo el comentario de Michael Hardy, el problema es equivalente a mostrar$$\sum_{k=1}^n k\cdot p_k^{\log_2 3}\ge \frac{n+1}{2n}$ $ if$0<p_1\le \cdots\le p_n$ y$p_1+\cdots+p_n=1$. Esto se puede probar de la siguiente manera:

\begin{align*} &\sum_{k=1}^n k\cdot {p_k}^{\log_2 3}\\ &\ge \sum_{k=1}^n \frac{n+1}{2}\cdot {p_k}^{\log_2 3}\\ &= \frac{n+1}{2} \sum_{k=1}^n {p_k}^{\log_2 3}\\ &\ge \frac{n+1}{2} n\left(\frac1n\right)^{\log_2 3}\\ &\ge \frac{n+1}{2} n\left(\frac1n\right)^2\\ &=\frac{n+1}{2n}. \end{align*}

1ª línea a 2ª línea: Para$1\le k\le \lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$, $$ k {p_k} ^ {\ log_2 3} (n 1-k) {p_ {n 1-k}} ^ {\ log_2 3} Ge \ frac {n 1} {2} {p_k} ^ {\ log_2 3} \ frac {n 1} {2} {p_ {n 1-k}} ^ {\ log_2 3}. $$

De la 3ª a la 4ª línea: aplique la desigualdad de Jensen a una función convexa (%) )). $$

Answer 2

Vamos$x_i = \log_2 \frac{1}{y_i}$, por lo tanto$\sum_{i = 1}^ny_i = 1$,$0 < y_i < 1$. También, $\frac{1}{3^{x_i}} = \frac{1}{3^{-\log_2 y_i}} = (3^{\log_3 y_i})^{\frac{1}{\log_3 2}} = y_i^{\log_2 3}$. Por lo tanto, para mostrar$$\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i = 1}^n i y_i^{\log_2 3} \geq \frac{1}{n^2}$ $

Ahora, por Jensen,$$\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i = 1}^n i y_i^{\log_2 3} \geq \left(\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i = 1}^n i y_i\right)^{\log_2 3} \geq \left(\frac{2}{n(n+1)}\sum_{i = 1}^n y_i\right)^{\log_2 3} \geq \frac{1}{n^{2\log_2 3}}$ $

Encontró un error, lo arregló, pero desafortunadamente, este es un límite inferior más débil que el que deseamos.