¿Hay una manera más fácil de demostrar que un tetraedro es óptimo?

Question

Básicamente, lo que estoy tratando de solucionar un problema que algo espejos de electrones de la geometría, y estoy frases como esta:

Considerar cuatro puntos en el espacio tridimensional ( $P_1,P_2,P_3,P_4$ ), tales que cada una de las $P_i$ es en la unidad de la esfera. Definir la perturbación de los cuatro puntos como: $$ D(P_1,P_2,P_3,P_4)=\sum_{1 \leq i < j \leq 4} \frac{1}{|P_i-P_j|^2}$$

Donde $|P_i-P_j|$ es la distancia euclidiana entre el$P_i$$P_j$. Mi objetivo es minimizar la perturbación de los cuatro puntos, y demostrar que los cuatro puntos que minimizar la perturbación forma de un tetraedro.

Dado que sólo estamos considerando la forma (arriba a la rotación), podemos asumir w.l.o.g. que $P_1=(1,0,0)$, $P_2$ también se encuentra en el plano de la $z=0$. Para ello, me he decidido a parametrizar estos puntos como: $$ P_2=(\cos(\alpha),\sin(\alpha),0)$$ $$ P_3=(\sin(\phi_1)\cos(\theta_1),\sin(\phi_1)\sin(\theta_1),\cos(\phi_1))$$ $$ P_3=(\sin(\phi_2)\cos(\theta_2),\sin(\phi_2)\sin(\theta_2),\cos(\phi_2))$$

Y en este sentido, la perturbación es una función de$\mathbb{R}^5$$\mathbb{R}$. Me tomó de las derivadas parciales con respecto a cada variable y el conjunto de ellos igual a cero, pero todo da un increíblemente asqueroso sistema de ecuaciones que no sé cómo simplificar. Mi objetivo es mostrar que todos ellos deben formar un tetraedro pero yo realmente no sé cómo hacer eso, y tengo la esperanza de que hay un método más fácil.

Answer 1

Esto es realmente un comentario en lugar de una respuesta, pero lamentablemente no puedo comentar aún, así que.. Y me disculpo si no es útil, yo no soy un matemático, pero la pregunta me parece interesante!

Esta pregunta parece una reminiscencia de la de Coulomb problema de la física y la química, donde la interacción entre los N cuerpos es considerado como una suma de pares de interacciones entre cuerpos.

Por la forma básica de pares, la interacción de Coulomb kernel es

$$K(\textbf{r}_i,\textbf{r}_j) = \frac{1}{|\textbf{r}_i-\textbf{r}_j|} $$ En física está íntimamente relacionada con el potencial de Coulomb, la derivada de la que se da a la inversa del cuadrado del término que he escrito, que le da fuerzas.

Creo que la forma general de obtener algo viable en este tipo de problema es hacer una expansión de Taylor en 3D, a continuación, expresar en términos de la exponencial planewave operador, a continuación, en términos de sólidos armónicos para que las reglas de suma de existir y expresiones son tabulados.

El resultado estándar para el Coulomb núcleo escrito en términos de armónicos esféricos es

$$K(\textbf{r}_i,\textbf{r}_j) = \sum^\infty_{l=0}\sum^l_{m=-l}\frac{4\pi}{2l+1}Y_{l,m}(\mathbf{r}_1)Y^*_{l,m}(\mathbf{r}_2)\frac{{\mathrm{min}(r_i,r_j)}^{l+1}}{\mathrm{min}(r_i,r_j)^l}$$

donde el Ylm expresiones pueden verse en las tablas.

Me imagino que para unidad de cuatro cargas puntuales que se considera una distribución de densidad de cuatro deltas de Dirac

$$\rho(\mathbf{r})=\sum^4_{i=1}\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_i)$$

evaluar un Hartree-tipo de interacción

$$H(\mathbf{r},\mathbf{r'})=\int\int\rho(\mathbf{r})K(\textbf{r}_i,\textbf{r}_j)\rho(\mathbf{r'})drdr'$$

Esperemos que simplifica usando las propiedades de los integrados de deltas de Dirac, y se puede obtener una expresión que se puede minimizar por el tetraedro puntos.