Prueba de invertibilidad

Question

Quiero saber cómo probar esta pregunta:

Demuestre que si$A$ es matriz invertible entonces$AA^T$ y$A^T A$ también son invertibles.

Mi intento:

Dado que$A$ es invertible tenemos ese$AA^{-1} = I$ y si denotamos$B = A^{-1}$, tenemos que$AB=I$ así que si tomamos la transposición de ambos lados tenemos$(AB)^T = I^T = I$, Pero aquí es donde consigo mi problema ya que la transposición, inversa de$B$ no es igual a$A$.

Answer 1

Sea B una matriz, de modo que$AB = I$ y$BA = I$. Entonces y $A^T B^T = (BA)^T = I^T = I$. Así que la inversa para$B^T A^T = (AB)^T = I^T = I$ es$A^T$. Ahora tenemos:

$B^T$ Y$(A A^T)(B^T B) = A(A^T B^T) B = A(I)B = AB = I$. Así que la inversa para$(A^T A)(B B^T) = I$ es$AA^T$ y para$B^TB$ tenemos$A^T A$.

Answer 2

Usando tu notación, has demostrado que$(AB)^T = I$, hasta ahora todo bien; Pero también$(AB)^T = B^TA^T = (A^{-1})^TA^T$, y esto le indica que$A^T$ es invertible y$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$. ¿Puedes ver a dónde ir con esto?

Answer 3

Recordemos que una matriz es invertible si y sólo si su determinante no es cero.

Ahora, ¿qué puedes decir acerca de

UN) $\text{det}(A^T)$

Significado de la palabra b

Trabajar éstos, y se hace claro

Answer 4

Última línea $(A^TA)^T=A^TA$.

$AA^T$ Es equivalente a$(A^T)^T(A^T)$, por lo que el resto sigue cuando$A^T$ es tratado como A.

Answer 5

Un enfoque alternativo:

Para mostrar que$A^TA$ es invertible, piense en el sistema lineal$A^TAx=0$. Basta con mostrar que$x=0$ es la solución única. Pero$A^TAx=0$ implica que$\langle Ax,Ax\rangle= x^TA^TAx=0$. Así,$Ax=0$. Ahora utilice el hecho de que$A$ es invertible.

Para$AA^T$, tenga en cuenta que$AA^T=(A^T)^T(A^T)$