Encuentra todas las soluciones reales de$6^x+1=8^x-27^{x-1}$

Question

Encuentra todas las soluciones reales de$6^x+1=8^x-27^{x-1}$.

Cosas que intenté: Queremos soluciones de$$2^x3^x+1 = (2^x)^3-\frac{(3^x)^3}{27}.$$ Write $ a = 2 ^ x$ and $ b = 3 ^ x $. Esto proporciona$$ab+1 = a^3-\frac{b^3}{27}$ $ o$$27ab+27=27a^3-b^3$ $

¿Cómo continuar?

Answer 1

Como lo hizo, vamos a $a=2^x, b=3^x$. Tenemos $$ab+1=a^3-\frac{b^3}{27}$$

Nota: el estándar de la identidad $$u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)\left(\frac{(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2}{2}\right)$$

Tome $u=a, v=-\frac{b}{3}, w=-1$. A continuación,$u^3+v^3+w^3-3uvw=a^3-\frac{b^3}{27}-1-ab=0$.

Por lo tanto $u+v+w=0$ o $(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2=0$. En el último caso, obtenemos $u=v=w$$a=-\frac{b}{3}=-1$, lo $a=-1, b=3$. Pero, claramente,$2^x=a \not =-1$, una contradicción.

Por lo tanto $u+v+w=0$.

Por lo tanto $a-\frac{b}{3}-1=0$, es decir,$2^x=3^{x-1}+1$.

Escribir $x=y+1$, y volver a escribir como $1^y+3^y=2^y+2^y$. Por último, utilice el teorema puedo demostrar aquí. (Citado más abajo)

Teorema: Vamos a $a, b, c, d$ ser números reales tales que a $0<a<b \leq c<d$. Entonces la ecuación de $$a^x+d^x=b^x+c^x$$ ha

• Exactamente dos soluciones, $x=0$ $x=t>0$ algunos $t$ si $ad-bc<0$
• Exactamente dos soluciones, $x=0$ $x=t<0$ algunos $t$ si $ad-bc>0$
• Exactamente una solución, $x=0$ si $ad-bc=0$

con $(a, b, c, d)=(1, 2, 2, 3)$, $ad-bc=-1<0$, y $y$ en lugar de $x$.

Por lo tanto, hay exactamente dos soluciones para $y$, dado por $y=0$$y=t>0$, algunos $t$. Por inspección, $y=1$ es una solución. Por lo tanto todas las soluciones reales para$y$$y=0, 1$.

Por lo tanto todas las soluciones reales para$x$$x=1, 2$.

Answer 2

Si usted hace una parcela de la función $f(x) = 27^{x-1} - 8^x + 6^x + 1$, usted se dará cuenta de que tiene dos trivial raíces en$x = 1$$2$. Este tipo de función se llama polinomio de Dirichlet. En 1883, Laguerre ha demostrado un teorema:

Generalizada de Descartes de la regla de los signos

Dado un polinomio de Dirichlet $P(x) = \sum\limits_{j=1}^n a_j b_j^x$ donde $a_j, b_j \in \mathbb{R}$ satisface: $$ a_1, a_2, \ldots, a_n \ne 0,\quad\text{ and }\quad b_1 > b_2 > \cdots > b_n > 0$$ Si $N$ es el número de cambios de signo en los coeficientes de $a_j$, luego el número de la real las raíces de $P(x)$ está delimitado por $N$.

Desde nuestro Dirichlet polinomio $f(x)$ tiene dos cambios de signo, las dos raíces de la $1$ $2$ son todas las raíces reales tiene.

Notas

Para más información, puede buscar el documento original (en francés)

• E Laguerre, Sur la théorie des équations numériques, J. Math. Pures et Appl. 9 (1883)

o una introducción moderna de un mismo tema

• G. J. O'Jameson, Contando los ceros de los polinomios generalizados de Descartes' regla de los signos y de Laguerre del extensiones, (de Matemáticas. La gaceta de los 90, no. 518 (2006), 223-234).
  Una copia en línea se puede encontrar aquí.

Answer 3

La ecuación de $27ab+27=27a^3-b^3$ ha encontrado puede ser escrito como $$27a^3-27ab-27-b^3=0,$$ que puede ser visto como un cúbicos en $b$. Su discriminante es $$\Delta_b(a)=-4\cdot(-1)\cdot(-27a)^3-27\cdot(-1)^2=-(a^3+1)^2,$$ cual es negativo para todos los $a$ a excepción de $a=-1$, cuando es igual a cero. Esto no corresponde a un valor real de $x$, por lo tanto para todos los posibles valores de $a$ hay una única real $b$ la satisfacción de las polinomio, que es $$b=3(a-1).$$ Por definición tenemos $b=3^{\log_2a}$. Por lo que sigue siendo solucionar $3^{\log_2a}=3(a-1)$. Por la inspección encontramos las soluciones $a=2$ $a=4$ correspondiente a$x=1$$x=2$. Estas son las únicas soluciones, debido a que una función exponencial se cruza con cualquier línea en la mayoría de los dos puntos.