¿Hay alguna diferencia notable entre estudiar la integral de Riemann sobre intervalos abiertos y estudiarla a intervalos cerrados?

Question

(1) Una función de $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ se dice es Riemann integrable en $[a,b]$ . . .

(2) Una función de $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ se dice es Riemann integrable en $(a,b)$ . . .

Supongamos que un libro comenzó la exposición como (1) y otro que comenzó como (2). Mi pregunta es: Tiene todo teorema es válido para la primera definición, un análogo de la segunda?

Creo que la mayoría de los libros (al menos a mi el cálculo de los libros y el análisis de los libros) utiliza cerrado intervalos, pero me empezó a estudiar la Integral de Lebesgue y en el primer capítulo del libro, el autor presenta una revisión acerca de Riemann integral y considera que las funciones definidas en intervalos abiertos.

Tal vez es trivial, pero me gustaría saber si hay una razón para elegir para trabajar con abrir los intervalos en lugar de intervalos cerrados.

Gracias.

Answer 1

No hay tal cosa como un "Riemann integral definida sobre el intervalo abierto $\ ]a,b[\ $".

La definición de la integral de Riemann ofertas con delimitadas las funciones definidas en un compacto ($=$ finito cerrado) intervalo de $[a,b]$.

Resulta que cuando usted toma una función que es Riemann-integrable en $[a,b]$ y cambiar sus valores en un conjunto muy pequeño, por ejemplo, en un conjunto finito, entonces el valor de la integral no cambia. De ello se sigue que cuando tiene una función en el intervalo abierto $\ ]a,b[\ $ que es Riemann-integrable en $[a,b]$ para cualquier valor que usted puede elegir en$a$$b$, entonces la integral de Riemann de $f$ $[a,b]$ está bien definido.

Es un asunto totalmente diferente cuando se ve obligado a considerar las integrales de la forma $$\int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon'} f(x)\ dx$$ con $\epsilon$, $\epsilon'>0$ con el fin de conseguir el asimiento de la "integral", que realmente deseas, por ejemplo, cuando se desea considerar la integral $$\int_0^1{1\over\sqrt{x(1-x)}}\ dx\ .$$ En este caso se hablaría de una impropia de Riemann integral.