¿Es una variedad del $\mathbb{P}^2/C_n$?

Question

Supongamos que tenemos una acción de Grupo cíclico de orden $n$ $\mathbb{P}^2$ $k\to \{(x,y,z)\to(x,e^{2\pi ik/n}y,z)\}$. Tiene un punto fijo y una línea fija.

¿Es $\mathbb{P}^2/C_n$ un esquema de variedad? Si es así, ¿podemos escribir a sus ecuaciones definitorias? Y ¿cómo Describimos las singularidades del cociente?

Answer 1

Es un (normal) variedad proyectiva, el promedio ponderado de espacio proyectivo $\mathbb{P}(1,n,1)$, que tiene un punto singular, lo que se llama un cíclica de la singularidad de tipo $\frac{1}{n}(1,1)$, que corresponde a la de punto fijo $(0:1:0)$. Esto puede ser visto con mayor generalidad, véase, por ejemplo, la encuesta del artículo Ponderado de las variedades por I. Dolgachev.

En este caso especial, considere la posibilidad de $\mathbb{P}^2$ $\mathrm{Proj}(\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2])$ con el estándar de calificación. Contamos con la actuación del grupo $\mu_n$ $n$- th raíces de la unidad en $\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]$ (e $\mathbb{P}^2$ como en la pregunta) a través de $\zeta.x_0 = x_0$, $\zeta.x_1 = \zeta x_1$ y $\zeta.x_2 = x_2$. Es fácil ver que el anillo de invariantes $\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]^{\mu_n}$ es generado por $x_0$, $x_2$ y $x_1^n$. Es decir, $\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]^{\mu_n}\subset\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]$ es la imagen de la inyectiva homomorphism $\varphi\colon\mathbb{C}[y_0,y_1,y_2]\to\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]$ asignación de $y_0$ a $x_0$, $y_1$ a$x_1^6$$y_2$$x_2$. Con el fin de hacer de este un homomorphism de graduados $k$-álgebras, sólo tenemos que darle a $\mathbb{C}[y_0,y_1,y_2]$ otro régimen, es decir, tal que $y_0$ $y_2$ son de grado $1$ como de costumbre y dejando $y_1$ ser de grado $6$. Por lo tanto, obtener un isomorfismo $\mathrm{Proj}(\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]^{\mu_n})\to \mathrm{Proj}(\mathbb{C}[y_0,y_1,y_2])$. (Este último es, por definición, el promedio ponderado de espacio proyectivo $\mathbb{P}(1,n,1)$.)

Tenga en cuenta que $\varphi$ induce a una todas partes definidas de morfismos $f := \varphi^*\colon\mathbb{P}^2\to\mathrm{Proj}(\mathbb{C}[y_0,y_1,y_2])$. De hecho, es bien definido exactamente en el $\mathfrak{p}\in\mathrm{Proj}(\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2])$ que no contienen la imagen de la irrelevante ideal, es decir, que los $(x_0,x_1^6,x_2)\not\subset\mathfrak{p}$. Pero esto es cierto para todos ellos, debido a que un primer ideal $\mathfrak{p}$ contiene $x_0,x_1^6$$x_2$, sin embargo, contiene $(x_0,x_1,x_2)$, lo $\mathfrak{p}\not\in\mathrm{Proj}(\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2])$. Este debe ser realmente el universal geométricas cociente en el sentido de Mumford, pero este es, probablemente, demasiado abstracta, por lo que vamos a conseguir más concreto.

A la gente le dirá que $\mathbb{P}(1,n,1)$ es la contracción de la excepcional sección de la $n$-th Hirzebruch superficie, o proyectivas de cono de la Veronese $v_n(\mathbb{P}^1)$. Este último se vuelve muy sencillo para $n=2$: considerar el mapa de $p\colon\mathbb{C}^3\setminus 0\to\mathbb{P}^3$ definido por $(x_0,x_1,x_2)\mapsto(x_0^2:x_1:x_0x_2:x_2^2)$. Para cualquier $\lambda\in\mathbb{C}^\times$, $p(\lambda x_0,\lambda^2 x_1,\lambda x_2) = (x_0^2:x_1:x_0x_2:x_2^2)$ y $p(y_0,y_1,y_2) = p(x_0,x_1,x_2)$ si y sólo si $(y_0,y_1,y_2)=(\lambda x_0,\lambda^2 x_1,\lambda x_2)$ algunos $\lambda\in\mathbb{C}^\times$. Esta es otra definición de la propiedad de $\mathbb{P}(1,2,1)$, es decir, el cociente de $\mathbb{C}^3\setminus 0$ $\mathbb{C}^\times$- acción $\lambda.(x_0,x_1,x_2) = (\lambda x_0,\lambda^2 x_1,\lambda x_2)$. En consecuencia, $\mathbb{P}(1,2,1)$ es la imagen de $p$, que es el cuadrática de cono $\{(w:x:y:z)\in\mathbb{P}^3|\,wz=y^2\}$. Su único punto singular es $(0:1:0:0)$, cuyas $p$-fibra es la línea en $\mathbb{C}^3\setminus 0$ generado por $(0,1,0)$. En vista de la pregunta original, esto se corresponde con el punto fijo $(0:1:0)\in\mathbb{P}^2$. De forma análoga, para cualquier $n\geq 2$, el mapa $\mathbb{C}^3\setminus 0\to \mathbb{P}^{n+1}$, $(x,y,z)\mapsto (x^n,x^{n-1}z,x^{n-2}z^2,\dots,z^n,y)$ hace el mismo trabajo.