¿Cuál es la importancia de $\sinh(x)$ ?

Question

Me topé con $\sinh(x)$ . Sólo soy un estudiante de cálculo uno, pero me preguntaba cuando esta función entra en juego, y ¿cuál es su propósito? Por último, ¿tiene aplicaciones en el mundo, o es un concepto creado por el hombre?

Answer 1

Las demás respuestas son correctas, pero aprovecho la oportunidad para señalar otra aplicación real de las funciones trigonométricas hiperbólicas.

A catenaria es la curva que se obtiene colgando una cadena de densidad uniforme por sus dos extremos:

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

Las catenarias aparecerán, por ejemplo, en puentes colgantes y cables eléctricos colgados de torres de transmisión. Estas curvas y sus propiedades se describen muy bien con las funciones trigonométricas hiperbólicas. Como curiosidad, las ruedas cuadradas "ruedan" suavemente sobre una superficie de catenarias invertidas. $^\dagger$ siempre que la longitud de cada catenaria sea igual a la longitud del lado del cuadrado.

$\text{ }$

Todo esto para decir: cabe imaginar que ingenieros y arquitectos encuentren interés en estudiar estas curvas en determinadas situaciones. Véase este documento como ejemplo, donde uno se encuentra repetidamente con las funciones hiperbólicas seno y coseno.

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$^\dagger$ El lector intrigado puede ver esto en acción aquí . El lector especialmente intrigado podría preguntarse si existe una carretera adecuada para otras formas de rueda, y esta cuestión es abordada ampliamente por Hall & Wagon en su artículo de 1992 Carreteras y ruedas utilizando en gran medida estas funciones hiperbólicas.

Answer 2

El seno hiperbólico (y el coseno hiperbólico) surge de forma natural en la solución de la ecuación diferencial

$$f''=f$$

que es

$$f(x)=a\sinh(x)+b\cosh(x)$$

Answer 3

Este punto de vista utiliza el álgebra lineal:

El conjunto de funciones $f:\Bbb R\to \Bbb R$ es un espacio lineal que suele denotarse $\mathscr F(\Bbb R,\Bbb R)$ o simplemente $\mathscr F(\Bbb R)$ y es una suma directa del subespacio de funciones pares $\mathscr E(\Bbb R)$ y el subespacio de funciones Impares $\mathscr O(\Bbb R)$ :

$$\mathscr F(\Bbb R)= \mathscr E(\Bbb R)\oplus \mathscr O(\Bbb R)$$ lo que significa que cualquier función $f$ es una suma de una función par y una función impar y esta escritura es única

$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{even part}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{odd part}}$$

Ahora para el $\sinh$ podemos ver fácilmente que es la parte impar de la función exponencial.

Answer 4

Las funciones $\cosh x = \cfrac {e^x+e^{-x}}2$ y $\sinh x = \cfrac {e^x-e^{-x}}2$ surgen cuando descomponemos la función exponencial $e^x$ ito sus partes pares e Impares.

Sin embargo, nunca he visto un ensayo o artículo que explore realmente el significado de este hecho, pero creo que quizá sea más significativo que una simple observación.

Answer 5

Una definición del seno hiperbólico es $$ \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. $$ La función entra en juego en las ecuaciones diferenciales parciales que se utilizan en muchas aplicaciones del mundo real. Un ejemplo de EDP es la ecuación de Laplace en un cuadrado $\nabla^2u = 0$ donde $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ . Por un lado, tendremos condiciones de contorno periódicas y, por otro, funciones trigonométricas hiperbólicas, a saber $\sinh$ y $\cosh$ .