Propósito de cúspides

Question

En la teoría de las formas modulares, es el conjunto de aristas definidas por $\mathbb{P}^1 (\mathbb{Q})= \mathbb{Q} \cup \{\infty\}$. Para un subgrupo de $\Gamma < \text{SL}_2(\mathbb{Z})$ de índice finito, llamamos a $\Gamma\backslash \mathbb{P}^1 (\mathbb{Q})$ el conjunto de la cúspide de clases.

Por ejemplo, yo sé que $\text{SL}_2(\mathbb{Z})/\mathbb{P}^1 (\mathbb{Q})$ se compone de un elemento, es decir, representado por $\infty$; las formas Modulares que se escriben como series de Taylor y desaparecer en cualquier pertenecientes a la cúspide se denomina la cúspide de las formas.

Sin embargo, ¿cuál es la importancia de estas dos definiciones? ¿Que tiene de "especial" de las propiedades, es decir, permitir una interpretación geométrica de las formas modulares? Cuales son las características que ofrecen y en que los contextos de las formas modulares de que tal vez re-encuentro con ellos?

Answer 1

El espacio de moduli de 1-complejo de dimensiones tori (zona 1) es (geométricamente) un no-compacto orbifold. La no-compacidad viene del hecho de que en un toro, uno puede disminuir la longitud de una curva cerrada hacia abajo a cero. La universalización de la cobertura de espacio de moduli es el plano hiperbólico $\mathbb{H}^2$, y el (orbifold) grupo fundamental del espacio de moduli es $\Gamma=PSL_2(\mathbb{Z})=Mod(T^2)$, que actúa en $\partial\mathbb{H}^2=\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ de tal manera que se conserva la cúspide set $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$, que la parametrización de las curvas en un toro, correspondiente a $\pm(p,q)\in \mathbb{Z}^2, \gcd(p,q)=1$, lo que representa elementos primitivos de $\pi_1(T^2)=\pi_1(\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2)=\mathbb{Z}^2$.

Congruencia de los subgrupos de $\Gamma$ corresponden a los subgrupos que preservar una "estructura" en el torus $T^2$. Es decir, hay algunos cubren $\tilde{T}^2\to T^2$, y se considera el subgrupo de $Mod(T^2)$ que eleva a esta cubierta. Más generalmente, se puede intersectar subgrupos de este tipo para obtener la congruencia de los subgrupos. Bajo la acción de este subgrupo de $Mod(T^2)$, el simple curvas cerradas pueden dividirse en un número finito de órbitas, que se corresponden a las cúspides del subgrupo. Por ejemplo, si uno toma la cubierta correspondiente al subgrupo $\Gamma_0(N)$, correspondiente al subgrupo de $PSL_2(\mathbb{Z})$ que conserva el entramado $\mathbb{Z}+N\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}=\pi_1(T^2)$, luego que las curvas correspondientes a $(1,0)=\infty$ $(0,1)=0\in \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ dejará de estar en la misma órbita, así que hay al menos dos cúspides.

Ahora, por el teorema de uniformización, para un finito-índice subgrupo $\tilde{\Gamma}\leq \Gamma$, no es una superficie de Riemann compacta $\overline{X}$ compactifying $X=\mathbb{H}^2/\tilde{\Gamma}$. El holomorphic la cúspide de las formas (incluso de pesos) puede ser interpretado como las formas que descienden hasta la compactified superficie $\overline{X}$ holomorphic formas diferenciales con coeficientes en una línea de paquete. Por ejemplo, el peso de 2 cúspide de las formas que corresponden a holomorphic 1-formas en $\overline{X}$. El espacio de estos (por el teorema de Hodge, o de Riemann-Roch) es isomorfo a $H^1(\overline{X},\mathbb{C})\cong \mathbb{C}^g$ donde $g$ es el género de $\overline{X}$. Si uno no se impone a la cúspide de la condición, $H^1(X)$ tendría mayor dimensión, y no habría más de 1-formas no de fuga en las cúspides.

En el caso de que no se holomorphic modular funciones, tales como Maass formas de onda, que corresponden a funciones propias de la Laplaciano en $X$, hay clases de funciones propias de la Laplaciano (que no están en $L^2(X)$) que provienen de las cúspides, y están representados por Eisenstein de la serie. Estas formas tienen un espectro continuo. Ciertos aritmética de información, aunque tiende a ser representado por la cúspide de las formas (que son en $L^2(X)$), que tienen un espectro discreto. Por ejemplo, Selberg del autovalor conjetura dice que la cúspide de la Maass formas siempre han autovalor $\geq \frac14$ para una congruencia subgrupo $\tilde{\Gamma}$; el correspondiente hecho ya es conocido por el de Eisenstein funciones propias.

Answer 2

En la no-compacto de los objetos geométricos, incluso con un límite total de la medida, las funciones que la caries muy bien en el "no compacto partes" son, obviamente, más manejable analíticamente. En la situación específica de "holomorphic elíptica formas modulares", hay un (curioso!) la bifurcación entre "disminuyendo rápidamente" y "crecimiento moderado", la antigua (holomorphic) cuspforms y el último (holomorphic) de Eisenstein de la serie.

La situación es tan simple en algunos aspectos, por ejemplo, finito-dimensionalidad de holomorphic las formas modulares de un peso determinado, que (quizás afortunadamente) problemas de análisis son fácilmente pasados por alto.

Para formas de onda", en la analítica de los problemas se vuelven más intensos, debido a que, como Selberg demostrado) el espacio de cuspforms es de dimensiones infinitas... y el "espectro continuo" para el invariante Laplaciano en $SL_2(\mathbb Z)\backslash\mathfrak H$ es distribuido por Eisenstein de la serie, que no están en $L^2$.

Sin embargo, de nuevo, el espacio de $L^2$ automorphic formas, de hecho, tiene una base de la rápida disminución de las funciones de la mayor parte de su discreta de descomposición, es decir, cuspforms (formas de onda), y luego un mucho más pequeño sobrante de la parte.

Es decir, la noción de "cuspform" (como la mejora y generalizada, modernizada por Gelfand et al) _has_proven_ a ser la correcta distinción... no es evidente a priori, ni la holomorphic caso (se remontan hasta bien entrado el siglo xix (19), dan clara evidencia de la historia más grande.

Answer 3

Como Paul Garrett íntimos en su respuesta, la noción de cuspform es fundamental, pero puede ser sutil en su significado y sus implicaciones. Aquí hay un par de diferentes puntos de vista que podrían ayudar:

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Desde el punto de vista de alguien que se interesa en la relación entre las formas modulares y de la teoría algebraica de números, Hecke eigenforms se corresponden con (cierta) de dos representaciones tridimensionales de la absoluta grupo de Galois $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$. En virtud de esta correspondencia, la de Eisenstein de la serie corresponden a reducible dos representaciones tridimensionales (es decir, aquellos que son la suma de dos caracteres), mientras que el cuspidal eigenforms corresponden a irreductible representaciones.

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Una respuesta diferente, relacionado con la formas cuadráticas:

El $\theta$ serie de una positiva definida forma cuadrática es una forma modular. Si ampliamos en términos de una base de Hecke eigenforms, tendrá algunos Eisenstein contribuciones, que pueden ser más o menos calculada de forma explícita y, a continuación, algunos cuspform aportaciones, que en general no se puede describir con una fórmula explícita.

Sin embargo, sabemos que la Hecke autovalores, y por lo tanto el $q$-coeficientes de dilatación, de un cuspform crecen a un ritmo mucho más lento que las de Eisenstein de la serie. (Hay elemental límites, debido a Hecke, más estrictos límites, debido a Rankin y, a continuación, el último Ramanujan--Petersson obligado, demostrado por Deligne.) Sólo a partir de esto, podemos derivar asymptotics como $n \to \infty$ para el número de representaciones de $n$ por un determinado cuadráticas formas. (Ver, por ejemplo, Serre del Curso en arithemtic para ejemplos concretos.)

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En el peso de los dos, como Agol notas en su respuesta, cuspforms corresponden a holomorphic formas diferenciales en el sistema modular de la curva, mientras que todas las formas modulares corresponden a formas diferenciales que son holomorphic salvo por las posibles simple de los postes en las cúspides.

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Sólo para relacionar un poco con Paul Garrett respuesta, en el espectro teórico punto de vista sobre automorphic formas (no algo que ver en el principio de la literatura en holomorphic formas modulares que la teoría de los números a los estudiantes tienden a leer, pero algo que se suelen introducir en los libros que tomar una mayor representación de la teoría de la veiw-punto), cuspforms (en un grupo dado, y en su Levi subgrupos) son los bloques de construcción básicos en términos de que el resto de la espectral de la teoría es desarrollada.