Voy a publicar una mancha de prueba aquí.
Deje d(r) denotar el denominador del número racional r. En otras palabras, si r=p/q posee por entero positivo q e integer p donde p,q co-prime, tenemos d(r)=q. A continuación, d(r)≥1 todos los r∈Q.
Supongamos que D(m)={x|0≤x≤1∧d(x)=m},D(1)={0,1}, e 0<|D(m)|<mm>1, por lo tanto
∑x∈D(m)1d(x)4=∑x∈D(m)m−4<m−3
Así
∑x∈[0..1]1d(x)4=2+∑m>1∑x∈D(m)1d(x)4<2+∑m>1m−3=C
Para todos los 0≤x,y≤1x,y∈Q, dibujamos un círculo cuyo centro es (x,y) y el radio es (d(x))−2(d(y))−2ϵ. La superficie total es de
∑0≤x,y≤1x,y∈Qπϵ2d(x)4d(y)4=πϵ2∑0≤x,y≤1x,y∈Q1d(x)4d(y)4=πϵ2∑0≤x≤1x∈Q1d(x)2∑0≤y≤1y∈Q1d(y)2≤πϵ2C2
Por lo que la medida no es mayor que πϵ2C2. Deje ϵ→0, podemos obtener la respuesta.
Nota: La suma-intercambiando funciona bien debido a que los términos son todos no negativos.