La medida del $([0,1]\cap \mathbb{Q})×([0,1]\cap\mathbb{Q})$

Question

Sabemos que $[0,1]\cap \mathbb{Q}$ es un subconjunto denso de $[0,1]$ y tiene medida cero, pero ¿qué pasa con $([0,1]\cap \mathbb{Q})\times([0,1]\cap \mathbb{Q})$? ¿Es también un subconjunto denso de $[0,1]\times[0,1]$ y también tiene medida cero?

Además, ¿qué hay de su complemento? ¿Es denso en $[0,1]\times[0,1]$ y tiene medida cero?

Answer 1

Cualquier sistema contable es de cero medida de Lebesgue, y el producto de (finito muchos) sistemas contables es contable. También, un producto de finito muchos sistemas densos es denso. Por lo tanto, la respuesta es sí.

Answer 2

Para dar una respuesta algo integral:

• el conjunto en cuestión es contable (como un producto de sistemas contables), por lo que es de medida cero (porque cualquier sistema contable es cero con respecto a cualquier medida continua, como medida de Lebesgue).
• también es denso, porque es un producto de conjuntos densos.
• tiene medida cero, por lo que su complemento tiene plenitud.
• su complemento tiene medida con respecto a la medida de Lebesgue, por lo que es denso en $[0,1]^2$

Answer 3

Voy a publicar una mancha de prueba aquí.

Deje $d(r)$ denotar el denominador del número racional $r$. En otras palabras, si $r=p/q$ posee por entero positivo $q$ e integer $p$ donde $p,q$ co-prime, tenemos $d(r)=q$. A continuación, $d(r)\ge1$ todos los $r\in\Bbb Q$.

Supongamos que $D(m)=\left\{\,x\,\big|\,0\le x\le1\land d(x)=m\,\right\}$,$D(1)=\{0,1\}$, e $0<|D(m)|<m$$m>1$, por lo tanto $$\sum_{x\in D(m)}\frac1{d(x)^4}=\sum_{x\in D(m)}m^{-4}<m^{-3}$$ Así $$\sum_{x\in [0\mathinner{..}1]}\frac1{d(x)^4}=2+\sum_{m>1}\sum_{x\in D(m)}\frac1{d(x)^4}<2+\sum_{m>1}m^{-3}=C$$

Para todos los $0\le x,y\le1$$x,y\in\Bbb Q$, dibujamos un círculo cuyo centro es $(x,y)$ y el radio es $(d(x))^{-2}(d(y))^{-2}\epsilon$. La superficie total es de $$\begin{align} \sum_{\substack{0\le x,y\le1\\x,y\in\Bbb Q}}\frac{\pi\epsilon^2}{d(x)^4d(y)^4} &=\pi\epsilon^2\sum_{\substack{0\le x,y\le1\\x,y\in\Bbb Q}}\frac1{d(x)^4d(y)^4}\\ &=\pi\epsilon^2\sum_{\substack{0\le x\le1\\x\in\Bbb Q}}\frac1{d(x)^2}\sum_{\substack{0\le y\le1\\y\in\Bbb Q}}\frac1{d(y)^2}\\ &\le\pi\epsilon^2C^2 \end{align}$$ Por lo que la medida no es mayor que $\pi\epsilon^2C^2$. Deje $\epsilon\to0$, podemos obtener la respuesta.

Nota: La suma-intercambiando funciona bien debido a que los términos son todos no negativos.