Muestran que del $6-2\sqrt{3}$ y $3\sqrt{2}-2$ es mayor sin usar calculadora

Question

¿Cómo comparar $6-2\sqrt{3}$ y $3\sqrt{2}-2$? (sin calculadora)

Parecer sencillo, pero lo he intentado muchas maneras y fallan miserablemente. Ambos son positivos, por lo que no podemos encontrar que uno es mayor que $0$ y el otro más pequeño de $0$. Tomando el primera menos la segunda para ver el resultado positivo o negativo me llega nada (tal vez soy demasiado denso para ver a través).

Answer 1

$6-2\sqrt 3 \gtrless 3\sqrt 2-2$

Reorganizar: $8 \gtrless 3\sqrt 2 + 2\sqrt 3$

Plaza: $64 \gtrless 30+12\sqrt 6$

Reorganizar: $34 \gtrless 12\sqrt 6$

Plaza: $1156 \gtrless 864$

Answer 2

Tenemos $\sqrt{3}\leq 1.8$ % que $6-2\sqrt{3}\geq 2.4$, mientras que $\sqrt{2}\leq 1.42$ lo $3\sqrt{2}-2\leq 2.26$.

Answer 3

$$ 6-2√3 \sim 3√2-2\\ 8 \sim 3√2 + 2√3 \\ \sim 64 30 + 12√6\\ 34 \sim 12√6\\ 17 \sim 6√6\\ 289 \sim 36 \cdot 6\\ 289 > 216 $$

Answer 4

Definir

$a=6-2\sqrt 3>0$

$b=3\sqrt 2-2>0$

$a-b = 8 - (2\sqrt 3 + 3\sqrt 2)$

$(2\sqrt 3 + 3\sqrt 2) ^ 2 = 12\sqrt 30 + 6 = 6 × (5 + 2\sqrt 6) 60 < < 64$ porque $6=2×3 < (5/2)^2$

$a-b > 8-8=0, a>b$

Answer 5

El uso de simples fracciones continuas para $\sqrt {12}$ y $\sqrt {18}.$ vale la Pena aprender la técnica general...Método descrito por el Prof. Lubin a Continuación fracción de $\sqrt{67} - 4$

$$ \sqrt { 12} = 3 + \frac{ \sqrt {12} - 3 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {12} - 3 } = \frac{ \sqrt {12} + 3 }{3 } = 2 + \frac{ \sqrt {12} - 3 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {12} - 3 } = \frac{ \sqrt {12} + 3 }{1 } = 6 + \frac{ \sqrt {12} - 3 }{1 } $$

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccc} & & 3 & & 2 & & 6 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 3 }{ 1 } & & \frac{ 7 }{ 2 } \\ \\ & 1 & & -3 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 12 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 3 \\ \frac{ 3 }{ 1 } & 3^2 - 12 \cdot 1^2 = -3 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 7 }{ 2 } & 7^2 - 12 \cdot 2^2 = 1 & \mbox{digit} & 6 \\ \end{array} $$

Continuó fracción convergents alternativo por encima y por debajo del número irracional, obtenemos $$ \frac{ 3 }{ 1 } < \sqrt {12} < \frac{ 7 }{ 2 } $$ Su primer número fue $6 - \sqrt {12},$ $$ 3 > 6 - \sqrt {12} > \frac{ 5 }{ 2 } $$ $$ \frac{ 5 }{ 2 } < 6 - \sqrt {12} < 3 $$

Siguiente 18......................========================================

$$ \sqrt { 18} = 4 + \frac{ \sqrt {18} - 4 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {18} - 4 } = \frac{ \sqrt {18} + 4 }{2 } = 4 + \frac{ \sqrt {18} - 4 }{2 } $$ $$ \frac{ 2 }{ \sqrt {18} - 4 } = \frac{ \sqrt {18} + 4 }{1 } = 8 + \frac{ \sqrt {18} - 4 }{1 } $$

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccc} & & 4 & & 4 & & 8 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 4 }{ 1 } & & \frac{ 17 }{ 4 } \\ \\ & 1 & & -2 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 18 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 4 }{ 1 } & 4^2 - 18 \cdot 1^2 = -2 & \mbox{digit} & 4 \\ \frac{ 17 }{ 4 } & 17^2 - 18 \cdot 4^2 = 1 & \mbox{digit} & 8 \\ \end{array} $$

Esta vez el número es $\sqrt {18} - 2.$

Es suficiente para el uso $$ 2 < \sqrt {18} - 2 < \frac{9}{4} $$

$$ \color{red}{ 2 < \sqrt {18} - 2 < \frac{9}{4} < \frac{ 5 }{ 2 } < 6 - \sqrt {12} < 3 } $$