Mostrando $T$ es continuo.

Question

Definir $\|p\| : = \sup_{[0,1]} | p | $ and consider $T: \mathcal{P} → \mathcal{P}$ $$T(a_0 + a_1t + · · · + a_kt^k) := a_0 + a_1t +\frac{a_2t^2}{2} + · · · +\frac{a_k}{k}t^k.$ $ Mostrar $T$ es un continuo.

Sólo sé $\mathcal{P}$ no es con cualquier norma, por lo que no puedo aplicar el teorema de la gráfica cerrada y mostrando que $T$ está delimitado parece imposible para mí. Aprecio ayuda para este problema.

Answer 1

$T$ no es continua. Para esto basta para considerar $p_n(t)=1-(2t-1)^{2n}$. Entonces $\|p_n\|=1$, $\|Tp_n\|= Tp_n(1)=2\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1}$. Desde
$$ \| Tp_n\ | \ge S_n: = \sum_ {j = 1} ^ {n} \frac 1j \quad\text{and}\quad\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty $$ podemos tomar $q_n=p_n/S_n$ y $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|q_n\|=0$ y $\|Tq_n\|\ge 1$ % todos $n$.

Answer 2

La observación clave para entender lo que está sucediendo aquí expresiones es que el operador $T$ es dado por el $$Tp(x)=p(0)+\int_{0}^x\frac{p(t)-p(0)}{t}\, dt.$$ This makes it easy to see that in fact $ T$ is unbounded, essentially since the integral $\int_0^1\frac{1}{t}\, dt$ diverges. For instance, for any $\epsilon > 0$, we can find (by the Weierstrass approximation theorem) a polynomial $p$ such that $\|p\|\leq 1 $, $p (0) = 0 $, and $p (t) \geq 1-\epsilon$ for all $t\in [\epsilon, 1]$. We then have $$Tp(1)-Tp(\epsilon)=\int_{\epsilon}^1\frac{p(t)}{t}\,dt\geq\int_{\epsilon}^1\frac{1-\epsilon}{t}\,dt=(1-\epsilon)\log(1/\epsilon).$$ This goes to infinity as $\epsilon$ goes to $0$, and so the norms of the $Tp$ also go to infinity. So there is no bound on $\| Tp\|$ for polynomials $p$ such that $\|p\|=1$, and so $T$ es ilimitada.

Answer 3

$\newcommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}$Nota: Esta no es una respuesta completa, pero podría ser una forma de acercamiento a la respuesta.

Por Stone-Weierstrass, $\mathcal P$'s uniforme de cierre es $\mathrm C[0,1]$. (El espacio de funciones continuas en $[0,1]$)

Definir, para cada una de las $n \in \mathbb{W}$, $$ T_n\left( \sum_{j=0}^m a_j x^j \right) = a_0 +\sum_{j=1}^n \frac{a_j}{j} x^j $$ donde trailing $a_j$'s (Aquellos con índices mayores de $m$ pero menor o igual a $n$) se establecen a $0$. A continuación, cada una de las $T_n$ está delimitado a través de la desigualdad de triángulo.

Si de alguna manera se puede mostrar que el $T_n$ es una secuencia de Cauchy en $\operatorname{CHom}[\mathcal P \to \mathrm C[0,1]]$ (el espacio de lineal continua y mapas), un teorema en el análisis funcional implicaría que el pointwise límite de $\langle T_n \rangle$ $T$ $T$ está delimitado en $\norm\cdot$.

Answer 4

Probablemente estoy perdiendo algo o puede ser tan simple?

Debemos mostrar que $\|Tp\| \to 0$ cuando $\|p\| \to 0$.

Ahora $Tp$ es continua y diferenciable, por lo que frecuenta $\sup_{t \in [0,1]} |Tp(t)|$ o $t=0$, $t=1$ o $t_0\in(0,1)$ tal que $(Tp)'(t_0)=0$.

Sin embargo, $$(Tp)'(t) = a_1 + a_2 t + \cdots + a_k t^{k-1} = \frac{p(t) - a_0}{t}$ $ por lo que implica de $(Tp)'(t_0)=0$ $p(t_0) = a_0 = p(0)$.

Así, $$\|Tp\| = \sup_{t \in [0,1]} |Tp(t)| = \max(|p(0)|, |p(1)|) \leq \|p\|$ $

Cuando $\|p\| \to 0$ por lo tanto tenemos $\|Tp\| \to 0$.