Relevancia / Importancia de la categoría Mat

Question

Soy nuevo, muy nuevo, en la teoría de categorías, que estoy tratando de aprender por mi cuenta. He encontrado un ejemplo en varios textos que me confunde.

Específicamente, es la categoría Mat donde los objetos son números naturales y las morfosis entre los objetos m y n son matrices mxn. Puedo ver que esta es una categoría, pero me pregunto de qué proporciona un ejemplo. Aunque las definiciones no son ni correctas ni incorrectas, ciertamente pueden ser útiles o inútiles, y este ejemplo parece estar en la última categoría.

Si los autores quieren un ejemplo de una categoría con matrices como morfos, ¿por qué no dejar que los objetos también sean matrices, con la única restricción de que las dimensiones sean tales que la post multiplicación de una matriz en el dominio por un morfo dé una matriz en el codominio? Esto da un ejemplo mucho más rico.

De nuevo, no estoy cuestionando la "corrección" de nada. Pero cuando me encuentro con lo que parece un ejemplo trivial, usado repetidamente, tengo que preguntarme si no estoy perdiendo todo el punto que el autor está tratando de hacer.

Gracias por cualquier ayuda o comentario.

Answer 1

En mi opinión, las dos cosas más significativas que hay que aprender del ejemplo son:

Los morfismos son importantes

Una cosa que me gusta mucho de Mat es que es un ejemplo familiar en el que nuestra experiencia previa es considerar que toda la importancia está en los morfismos, lo que sirve para contrastar con otros ejemplos como AbGrp donde la experiencia previa tiende a estar centrada en el objeto.

Un tema recurrente en la teoría de las categorías es el énfasis en la importancia de morfismos - un punto de vista que incluso puede llevarse al extremo de considerar que los objetos son totalmente irrelevantes más allá de su papel de fuentes y objetivos de morfismos.

Por ejemplo, en muchos de los ejemplos conocidos, toda la estructura habitual de los objetos puede recuperarse a partir de los morfismos. Por ejemplo, en Top dado un espacio topológico $X$ se puede identificar su conjunto de puntos con $\hom(1, X)$ y su familia de conjuntos abiertos con $\hom(X, 2)$ , donde $1$ es el espacio de un punto y $2$ es el espacio de Sierpinski.

Las categorías son estructuras naturales

Otra cosa que me gusta de Mat es que demuestra una nueva forma en que las categorías organizan naturalmente la estructura familiar.

El álgebra matricial es una especie de bicho raro en el álgebra abstracta porque el producto sólo está parcialmente definido; realmente no encaja bien con los enfoques habituales del tema; tienes que hacer cosas poco naturales como restringir tu atención sólo a las matrices cuadradas de dimensión fija, o hacer cosas raras como permitir todos los productos pero definir aquellos con desajuste para multiplicar a cero.

Pero he aquí que la estructura de una categoría resulta ser exactamente cómo se quieren organizar las matrices con el producto matricial.

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Otro punto sobre el ejemplo es que allana el camino para aplicar las ideas de la teoría de categorías al álgebra lineal.

No fue hasta que me enteré de Mat por ejemplo, que realmente aceptara que "el espacio de la columna de un $n \times m$ matriz" es una noción mejor para el cálculo que "subespacio de $\mathbb{R}^n$ ". O finalmente se permite " $n \times 1$ matriz" para sustituir "elemento de $\mathbb{R}^n$ " en mi mente al hacer los cálculos.

Answer 2

Mat es básicamente la misma categoría que Vect de dimensión finita con una base distinguida. Es para demostrar la noción de equivalencia categórica así como un bonito ejemplo de una categoría cuyos morfismos no son funciones.

Answer 3

¿Es esa categoría realmente tan trivial? Creo que parte de la cuestión es que mientras los objetos son bastante "aburridos", hay mucha más riqueza en los morfismos.

Answer 4

Como ya se ha señalado, $\mathbf{Mat}$ da un ejemplo bastante familiar de una categoría con objetos que no son "conjuntos equipados con" y con morfismos que no son "funciones tales que". Pero también lo hace el tuyo. Entonces, ¿qué los hace diferentes?

La propiedad fundamental de $\mathbf{Mat}$ (aquí supongo que $0$ y que las entradas de las matrices están en un campo $k$ ) es que es un esqueleto de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre $k$ (siempre que se asuma un axioma de elección lo suficientemente fuerte). Un esqueleto $\mathbf S$ de una categoría $\mathbf C$ es una subcategoría completa de $\mathbf C$ tal que: cada objeto de $\mathbf C$ es isomorfo a uno de $\mathbf S$ y dos objetos isomórficos de $\mathbf S$ son de hecho iguales. Refleja la forma en que se piensa la mayor parte del tiempo en álgebra lineal: cuando se dice "Fijemos la base para $V,W$ y ...", básicamente dices que ahora trabajas dentro de $\mathbf{Mat}$ en lugar de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita.

Y esto ocurre en otras áreas de las matemáticas. Supongamos que se estudia la clase combinatoria de los grafos etiquetados finitos: existe un functor $\mathbf{Bij}\to\mathbf{Set}$ , donde $\mathbf{Bij}$ tiene como objetos los conjuntos finitos y como morfismos las biyecciones entre ellos, mapeando cada conjunto finito $S$ al conjunto de grafos cuyos vértices están etiquetados por elementos de $S$ . Entonces frases como "Hasta renombrar los vértices por $1,\dots,n$ " es una forma de decir que se está explotando un esqueleto de $\mathbf{Bij}$ que es la categoría $\mathbf P$ cuyos objetos son números naturales $n\geq 0$ y donde $\mathbf P(n,n)$ es el grupo de permutación en $n$ cartas (y $\mathbf P(m,n) = \emptyset$ siempre que $m\neq n$ ).

Ahora bien, quiero subrayar que su ejemplo es de naturaleza muy diferente: usted define la categoría $\mathbf M$ cuyos objetos son las matrices y donde $\mathbf M(M,N) = \{P : PM = N\}$ . Está lejos de ser esquelético, ya que todo invertible $P$ da un isomorfismo de $M$ a $PM$ (y tales son raramente iguales). Y está claro que esto no es equivalente a los espacios vectoriales. Pero, de hecho, esto sigue estando relacionado con $\mathbf{Mat}$ de alguna manera. Para cada categoría $\mathbf C$ puede definir su categoría de flechas $\mathrm{Arr}(\mathbf C)$ cuyos objetos son los morfismos de $\mathbf C$ y los morfismos entre $f$ y $g$ son los cuadrados conmutativos con $f$ en la parte superior y $g$ en la parte inferior. Así que $\mathrm{Arr}(\mathbf{Mat})$ tiene matrices como objetos y $\mathrm{Arr}(\mathbf{Mat})(M,N) = \{ (P,Q) : PM = NQ \}$ . De ahí que su $\mathbf M$ es la subcategoría de la misma que contiene todos los objetos pero sólo los morfismos de la forma $(P,\mathrm{Id})$ .