¿Cómo identificar números ordinales del límite?

Question

Definición: Un número ordinal $\alpha$ se llama un límite de número ordinal si no hay ningún número ordinal inmediatamente anterior a $\alpha$.

Ahora mis notas de la conferencia decir que $\omega, 2\omega, \omega^2, \omega^\omega$ límite de números ordinales, mientras que $\omega+3,2^\omega+5$ no se cual es intuitivamente claro. Pero hay una caracterización de límite de ordinales que pueden trabajar al probar el caso con algunas de rigor? O es que "solo es buscar e identificar" una especie de una cosa mediante el pedido de la familia de los números ordinales?

Answer 1

Puede haber varias respuestas, dependiendo de lo que quieres decir por "identificar".

La respuesta más sencilla sería la de mirar el Cantor forma normal de $\alpha$, y ver si tiene cualquier finito ordinal no. Si la respuesta es no, entonces el $\alpha$ es un límite ordinal (o $0$, que puede o no puede ser un ordinal límite dependiendo de la convención) y de lo contrario es un ordinal sucesor.

Otra respuesta podría ser que $\alpha$ es un ordinal límite, si y sólo si para cada $\beta<\alpha$, $\beta+1<\alpha$ (con la misma advertencia acerca de $0$ como antes). Aunque no parece ser exactamente lo que usted está buscando.

Answer 2

Ya tienes una caracterización de los ordinales del límite. En cualquier caso sólo tienes que comprobar que esta caracterización se ha cumplido. Consideremos por ejemplo $\omega^2$:

$ \omega^2 = \omega \cdot \omega = \sup \ {\omega \cdot \mid n n < \omega \}. $$

Por lo tanto, si $\alpha < \omega^2$, hay un $n < \omega$ tal que $\alpha < \omega \cdot n$. Pero entonces $$\alpha + 1 < \omega \cdot n + 1 < \le \omega^2 \omega \cdot (n + 1).$$

Así $\omega^2$ es un ordinal límite.