¿Por qué es que una integral de línea de un campo vectorial se lleva el producto escalar del vector campo con la tangente? Los resultados de esta en nosotros tomar la componente del vector de campo en la dirección de la tangente de la curva que nos están integrando más. Esto nos puede dar el trabajo hecho como una interpretación física.
Si esta curva encierra un área, también podemos usar el Verde del teorema sobre el área en lugar de la integral de línea para obtener el mismo resultado. Verde del teorema de medidas de flujo a lo LARGO de la frontera.
Ahora el analógica a la que en una dimensión superior es la superficie de la integral de un campo vectorial. Sin embargo aquí la definición de la integral de superficie es tomando el producto escalar del vector campo con la normal (más específicamente el producto cruzado de las primeras derivadas parciales), con su interpretación como flujo a través de la superficie. Aquí, podemos utilizar el teorema de la divergencia también si la superficie que encierra un volumen. El teorema de la divergencia mide el flujo a TRAVÉS de la frontera. Por qué hay una diferencia?
Entonces, ¿por qué es una superficie integral de medición de algo a través de la frontera y la integral de línea a lo largo de?
EDIT: Nos damos cuenta de la curvatura es en realidad un campo vectorial en sí mismo.
Mirando a través de algunas notas, si tenemos un campo de vectores en dos dimensiones, hemos componentes $$f = (P,Q,0)$$
Por lo tanto, la curvatura es igual a $$curl f.k$$ which is just $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$ y un integrante con esto como su integrando es exactamente Verde del teorema.
El rizo en este caso es integrado a través de una superficie plana en el plano xy y la normal a la curvatura es sólo la componente k (estándar de la base del eje z). Aplicando la definición de las integrales de superficie en Stoke teorema, tenemos Verde del teorema. Esto muestra que el Verde del teorema es simplemente un caso especial de Stoke teorema.
Así que la definición exacta de la superficie de la integral puede ser utilizado para el resultado en Verde del teorema, y el Verde del teorema puede ser obtenida directamente mediante la consideración de la circulación sobre un área que los enlaces a nuestras integral de línea, así que definitivamente hay un enlace que me parece que no puede entender.
EDIT 2: me gustaría añadir el hecho de que yo menciono en mi comentario. La integral de línea y de superficie integral escalar con valores de funciones tiene sentido. Uno podría decir que la integral de línea se utiliza una componente tangencial (la norma de nuestro la derivada de nuestra parametrisation), mientras que la superficie de la integral de una normal (la norma de la cruz, producto de las primeras derivadas parciales), pero esto es sólo a causa de su interpretación geométrica. La tangente utilizados en la integral de línea se aproxima a la línea, mientras que la norma de la cruz del producto utilizado en la superficie de las integrales aproximado de la superficie utilizando el área de un paralelogramo, que es exactamente la norma del producto cruz entre vectores arbitrarios.
Entonces, ¿por qué está el enlace en el vector de funciones con valores de menos obvio? Lo que me estoy perdiendo en mi forma de pensar?
