Esta conocida prueba es usualmente presentado como la repetición de memoria de álgebra - sin explicación alguna de la (preciosa!) innata aritmética de la estructura que subyace a la prueba. A continuación podemos llevar esto a la palestra, que simplifica el álgebra y los rendimientos conceptual de conocimiento. En primer lugar se considera una variante más simple.
Supongamos que $w := \sqrt 2 = p/q$ para los números enteros $p,q>0.\,$ $ w^2 = 2\,\Rightarrow\, w = 2/w = 2q/\color{#c00}p.\,$ por lo Tanto si $w =\sqrt 2 $ es una fracción $p/q$, entonces su numerador $\color{#c00}p$ también puede servir como un denominador por $w$. Esta propiedad peculiar fácilmente conduce a contradicciones, por ejemplo, si elegimos $q$ como mínimo denominador (por lo $p/q\,$ es en términos mínimos) entonces (como bien se sabe) cada denominador debe ser un múltiplo de $q.\,$, En particular, $\color{#c00}p$ debe un múltiplo de $q,\,$ $\,w = p/q\,$ es un número entero, contra $w^2 = 2.$
Su prueba es una ligera variante de este. En lugar de usar dicho divisibilidad de la propiedad de menos denominadores (reducción de fracciones) se emplea esencialmente el núcleo de un descenso basado en la prueba de esta propiedad. Es decir, llamar a $n$ un denominador de una fracción $w$ si $nw \in \Bbb Z,\,$ es decir si $\,w = k/n\,$ para algunos entero $k$. El conjunto de todos los denominadores de una fracción goza de una especial estructura es cerrado bajo la resta desde $\,nw,mw\in\Bbb Z\,\Rightarrow\, (n\!-\!m)w = nw-mw\in\Bbb Z.\,$ Un simple descenso de la prueba usando la división con resto muestra que tales conjuntos de enteros son, precisamente, el conjunto de los múltiplos de por lo menos su elemento positivo. En particular, el mínimo denominador de $w$ divide cada denominador de $w$.
El descenso de paso en esta prueba funciona de la siguiente manera: Si $p > q$ son denominadores entonces, por cierre bajo la resta, por lo que también se $\,p\!-\!q,\, p\!-\!2q,\,\ldots$ por lo tanto también lo es el menor entero positivo en esta secuencia $= p\bmod q$, es decir, denominadores son cerrados bajo mod = resto. Así que si $q$ es el mínimo denominador, entonces debe dividir $p$ else $0\neq p\bmod q$ sería un menor denominador.
La prueba de que has encontrado es una ligera variante. Por que en lugar de comenzar con una fracción $\ w = \sqrt{2}-1 = p/q$, que es menos de $1$ nos de la fuerza de $p< q\,$, por lo que no hay necesidad de mod $p$ $q$ para obtener un menor denominador (de hecho el mod ya se ha hecho restando de $\sqrt 2$ su parte entera $=1).$, con Lo que $\,q':=p = q(\sqrt 2-1)$ sirve como un pequeño denominador es un caso especial del anterior método general del denominador de la pendiente. Mientras que uno puede comprobar $q'=p< q$ por repetición de álgebra, haciendo así que en ausencia de la innata algebraicas estructura enormemente ofusca la comprensión de la esencia de la cuestión.
Comentario $ $ Esta innata algebraicas estructura será aclarado cuando uno de los estudios de ideales abstractos, álgebra y teoría de números. El hecho de que los denominadores son cerrados bajo la resta significa que forman un ideal del anillo de $\Bbb Z $ de los enteros, y el denominador la divisibilidad de la propiedad es un caso especial de que el hecho de que esos ideales son principales (generado por separado), es decir, que tiene forma de $ n\Bbb Z.\,$ Finalmente, el hecho de que el numerador también sirve como un denominador generaliza a Dedekind la noción de conductor ideal - que los rendimientos de una forma abstracta de encapsular el descenso en tan elementales pruebas de la irracionalidad. Ver también mis posts en el denominador ideales y, más en general, el fin de los ideales.
