Suponiendo que el Axioma de Elección, todo espacio vectorial tiene una base, aunque puede ser molesto para mostrar de una forma explícita. Es allí cualquier manera constructiva para exhibir una base para $\mathbb{R}^\mathbb{N}$, el espacio vectorial real de las secuencias?
Respuestas
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DanV
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Asumir que cada conjunto de números reales que tiene la propiedad de Baire, así como el axioma de la dependiente de la elección (es cierto si asumimos AD, o vivir en Solovay del modelo, pero que puede salir con menos grandes cardenales demasiado):
Ya que cada conjunto de $\mathbb R^\mathbb N$ tiene la propiedad de Baire, y $\mathbb R^\mathbb N$ es un grupo polaco, cada homomorphism de ella en sí misma es continua en [1, Th. 9.10].
Dada una base de Hamel tiene que tener cardinalidad $\frak c$, se define el $2^\frak c$ muchos endomorphisms de $\mathbb R^\mathbb N$.
Ahora bien, dado que el $\mathbb R^\mathbb N$ es un separables en el espacio (por racional secuencias que finalmente son cero) esto significa que una función continua se define de forma exclusiva en los contables denso conjunto, en particular, esto implica que sólo podemos tener $\frak c$ muchas funciones continuas de $\mathbb R^\mathbb N$ a sí mismo.
Contradicción.
Bibliografía:
- Kechris, A. Clásico Descriptivo De La Teoría De Conjuntos. Springer-Verlag, 1994.
"De manera constructiva" "exhibir" una base para $\mathbb R^{\mathbb N}$ significa "de manera constructiva" "exponer" un montón de funcionales lineales en $\mathbb R^{\mathbb N}$; uno de coordinar funcional para cada elemento de la base. Así, en particular, significaría "constructivamente" "exponer" un funcional lineal en $\mathbb R^{\mathbb N}$ que es linealmente independiente del punto de evaluaciones. Puede que "de manera constructiva" "exposición", incluso uno de esos funcional? Yo creo que no.
Desiato
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Esto parece muy poco probable, porque si usted podría hacer esto "constructivamente" lo suficiente como para (obviamente no countably) enumerar cada uno de los miembros de la base, usted podría utilizar esa enumeración para construir un buen orden de $\mathbb{R}$ a partir de esto, porque entonces podríamos identificar cada una de las $x \in \mathbb{R}$ con su única final racional de la representación en términos de esta base.
Mientras que ser capaz también de orden $\mathbb{R}$ es, obviamente, una consecuencia de AoC, es ampliamente considerado imposible "de manera constructiva" dar un buen orden.
Todo esto es una consecuencia de la finitud de nuestro idioma, y por lo tanto inherente a la countability de todo lo que podemos describir con precisión suficiente para "separar" cada elemento de un conjunto.
Así que el mejor que usted puede conseguir realmente es la descripción de la base como algunos recopilación estructurada de innumerables conjuntos.
Editar para agregar que el segundo argumento se sostiene si usted está buscando un $\mathbb{R}$-base, debido a que esta base sería necesario incontables así.
Una forma sencilla de ver esto es considerar $\{(n^x)_{n \in \mathbb{N}}:x \in \mathbb{R}^+\}$ - este es un incontable y $\mathbb{R}$-linealmente independiente situado en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$.
