Ejercicio de aritmética ordinal en Kunen

Question

Estoy estudiando Kunen (edición de 2013) ahora mismo, y se quedó atascado en este ejercicio - que generalmente carecen de las herramientas y/o de la intuición para este tipo de ordinal aritmética de los ejercicios.

Ejercicio. Deje $\alpha\geq\omega$. A continuación, $type(\alpha\times\alpha,\vartriangleleft)=\alpha$ fib $\alpha=\omega^\mu$ $\mu=1$ o $\mu$ infinito indecomposable ordinal.

En cuanto a las definiciones:

Definición. Un límite ordinal $\gamma$ es indecomposable si alguno (por lo tanto, todas) de las siguientes instrucciones equivalentes de espera:

1. $\forall\alpha,\beta<\gamma: \alpha+\beta<\gamma$
2. $\forall\alpha<\gamma: \alpha+\gamma=\gamma$
3. $\forall X\subseteq\gamma: type(X)=\gamma\lor type(\gamma\backslash X)=\gamma$
4. $\exists\delta: \gamma=\omega^\delta$

Definición. $(\xi_1,\xi_2)\vartriangleleft(\eta_1,\eta_2)$ fib $\max(\xi_1,\xi_2)<\max(\eta_1,\eta_2)$ o $\max(\xi_1,\xi_2)=\max(\eta_1,\eta_2)$ $(\xi_1,\xi_2)\prec(\eta_1,\eta_2)$ donde $\prec$ es el orden lexicográfico.

He probado el "$\Leftarrow$" de la dirección, donde el $\mu=1$ caso parece sencillo, mediante la agrupación de los elementos en "bloques" de igual valor máximo $n$, notando estos bloques tienen $2n+1$ elementos y así ver que tipo de es $\omega$. En el indecomposable caso, he tratado de mostrar de forma inductiva que $type(\omega^\delta\times\omega^\delta,\vartriangleleft)<\omega^\mu$ todos los $\delta<\mu$, lo que implica el resultado deseado (desde $type(\alpha\times\alpha)\geq\alpha$ siempre). No veo cómo puedo usar indecomposability sin embargo, ya que yo sólo uso de la $\omega$ como caso base, explotar $\mu$ ser un límite en el sucesor de caso y que $\bigcup\{\omega^\zeta\mid\zeta<\gamma\}\leq\omega^\gamma$ $\gamma$ límite.

Brevemente he probado el "$\Rightarrow$" dirección, pero yo estaba completamente perdidos a la hora de comenzar el argumento.

Sugerencias sería muy apreciada.

Answer 1

Para el "$\Leftarrow$" usar el hecho de que $\mathbf{type}((\alpha+1)\times(\alpha+1),\lhd)=\mathbf{type}(\alpha\times\alpha,\lhd)+\alpha\cdot 2+1$, para demostrar por inducción transfinita que $\mathbf{type}(\alpha\times\alpha,\lhd)\leq \alpha^3$ para todos los ordinales $\alpha$; luego si $\gamma=\omega^\mu$ $\mu$ indecomposable, tenemos $\mathbf{type}(\gamma\times\gamma,\lhd)=\sup\{\mathbf{type}(\alpha\times\alpha,\lhd):\alpha<\gamma\}$ $\gamma$ es un ordinal límite, entonces por el obligado dada anteriormente obtenemos $\mathbf{type}(\gamma\times\gamma,\lhd)\leq \gamma$; $\alpha^3<\gamma$ todos los $\alpha<\gamma$, pero para cualquier ordinal $\alpha$ tenemos $\mathbf{type}(\alpha\times\alpha,\lhd)\geq \alpha$.

Probar la otra dirección por la contradicción. El uso de Cantor de la forma normal, tenemos tres casos:

• Si $\gamma=\omega^\theta$ $\theta$ no indecomposable, no es $\mu<\gamma$ tal que $\mu\cdot 2>\theta$; por el equivalente a las definiciones que dio en su pregunta, a continuación, probar que si $A=\{(\alpha,\xi):\alpha<\omega^\mu\wedge\omega^\mu\leq\xi<\omega^\mu\cdot 2\}$, $(A,\lhd)\simeq(\omega^{\mu\cdot 2},\in)$, y por lo $\mathbf{type}(\gamma\times\gamma,\lhd)\geq \mathbf{type}(\omega^\mu\cdot 2\times\omega^\mu\cdot 2,\lhd)\geq \omega^{\mu\cdot 2}>\gamma$.
• Si $\gamma=\omega^{\beta_n}\cdot l_n+\cdots+\omega^{\beta_1}\cdot l_1+l_0,$$l_n\geq 2$, si la ponemos a $m=l_n-1$, obtenemos $\omega^{\beta_n}\cdot m+1<\gamma$, demuestran que, a $\mathbf{type}((\omega^{\beta_n}\cdot m+1)\times(\omega^{\beta_n}\cdot m+1),\lhd)\geq \omega^{\beta_n}\cdot 3\cdot m+1$, lo que implica $\mathbf{type}(\gamma\times\gamma,\lhd)> \gamma$.
• Si $\gamma=\omega^{\beta_n}\cdot l_n+\cdots+\omega^{\beta_1}\cdot l_1+l_0,$ $l_n=1$ y $n\geq 1$, $\omega^{\beta_n}+1\leq \gamma$, para demostrar, de $\mathbf{type}((\omega^{\beta_n}+1)\times(\omega^{\beta_n}+1),\lhd)\geq\omega^{\beta_n}\cdot 3+1,$ se sigue que $\mathbf{type}(\gamma\times\gamma,\lhd)> \gamma$.