Definidos por sistemas en Fije la teoría

Question

Una fórmula $\phi$ con una sola variable libre en la lengua de teoría de conjuntos con una sola variable libre define un conjunto de $x$ si tiene $\phi(x)$ $\phi(y)$ no tiene si $y \neq x$.

¿Es cada conjunto definible por una fórmula de $\Sigma_1$ contable?

¿Es cada conjunto definible por una fórmula de $\Pi_1$ contable?

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es sí, cada conjunto definible por una $\Sigma_1$-fórmula es contable. Esta es una consecuencia inmediata de la tasa de reflexión teorema, el cual establece que $H_{\omega_1}\prec_{\Sigma_1} V$. Así que la afirmación de que existe un conjunto satisfactorio que la definición también es $\Sigma_1$ y por lo tanto debe estar en $H_{\omega_1}$ y por lo tanto es contable.

(La tasa de reflexión teorema en sí no es difícil de demostrar: fijar un testigo para cualquier $\Sigma_1$ de la propiedad y, a continuación, tomar una contables primaria de la subestructura dentro de una más grande $H_\theta$, y el colapso. El colapso de la testigo también será testigo de la propiedad, ya que cualquier conjunto transitivo es correcta acerca de la $\Delta_0$ afirmaciones.)

Para la segunda pregunta, la respuesta es no, puesto que la $x=P(\omega)$ está definido por la $\Pi_1$ fórmula afirmando primero que todo elemento de a $x$ es un subconjunto de a $\omega$ (que en parte es $\Delta_0$) y en segundo lugar que todos los $z$ que es un subconjunto de a $\omega$ es un elemento de $x$. No necesitamos $\omega$ como parámetro, ya que es definible como el único límite ordinal no contiene ningún tipo de límite ordinales como los elementos, y que es $\Delta_0$, por lo que no aumenta la complejidad de la definición de $P(\omega)$.