Vamos
$$f(x) = a_{n+1}x^{n+1} + a_nx^n + ... + a_1x + a_0$$ ser un polinomio de grado $n+1$ definida para todos los $x\in\mathbb{R}$. Demostrar que:
(a)La derivada de orden $n+1$ $f$ es igual a: $$f^{(n+1)}(x) = (n+1)!a_{n+1}$$
Primero tenemos que hacer con el monomio $x^k, k\in[0,n]$, mostrando que el (n+1)ésima derivada esto es igual a cero. Por lo tanto, proceder a través de la inducción y dejar; $$P(n):=\text{ the } (n+1)\text{th derivative of } x^k, k \in[0,n) \text{ is } 0$$
$P(1)$
Si $k = 0$ $\frac{d^2(1)}{dx^2} = 0$
y por lo $P(1)$ mantiene.
Supongamos que $P(n)$ algunos $n\in\mathbb{N}$, tenemos que mostrar la verdad de $P(n+1)$
Si $k\in[0,n)$, entonces la afirmación es vacuously verdadera por la hipótesis inductiva. Si $k = n$, tenemos que el $n$th derivado de la $x^{n}$
$$\frac{d^n{(x^{n})}}{dx^n}=n!$$
en la toma de derivados de esta expresión, obtenemos
$$\frac{d^{n+1}{(x^{n})}}{dx^{n+1}}=0$$
y tomando derivados de nuevo, como se requiere para demostrar que el $((n+1)+1)th$ derivada es cero, obtenemos
$$\frac{d^{n+2}{(x^{n})}}{dx^{n+2}}=0$$ desde $n!$ es constante.
Por lo tanto, por inducción matemática que nos han mostrado la verdad de $P$ todos los $n$.
De la discusión anterior, podemos señalar que $$\frac{d^{n+1}{(x^{n+1})}}{dx^{n+1}}=(n+1)!=\frac{f^{(n+1)}(x)}{a_{n+1}}$$
multiplicando a través obtenemos el resultado.
(b) Deducir que, para cualquier polinomio $p_n$ interpolar f en cualquier distintos puntos de $x_0<x_1<...<x_n$,la siguiente identidad se tiene:
$$f(x)-p_n(x)=a_{n+1}(x-x_0)...(x-x_n)$$
Por el teorema 3.3(Interpolación de error teorema) no existe $\xi(x) \in (x_0,x_n)$ tal que $$ f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n)$$
Puesto que la expresión de (a) es independiente de $x$, podemos escribir
$$f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)...(x-x_n)=a_{n+1}(x-x_0)...(x-x_n)$$
